3. Aplicación de la trigonometría a la astronomía
La trigonometría -el estudio de los triángulos- había servido, desde los primitivos babilonios hasta justamente antes de Descartes, como un auxiliar puramente práctico de la agrimensura, la astronomía y la navegación. Los astrólogos y los navegantes necesitaban calcular distancias no mensurables con regla o con cinta métrica. La trigonometría les permitió realizar tales cálculos aplicando determinadas reglas básicas acerca de las relaciones entre los lados y los ángulos de cualquier triángulo, por grande o pequeño que fuera. Estas relaciones, o proporciones, fueron establecidas inicialmente por los griegos para analizar los arcos de los círculos. El primer hombre que se sabe empleó estas relaciones fue el astrónomo Hiparco, quien las utilizó alrededor del año 140 a. de J. para encontrar distancias en línea recta a través de la bóveda celeste.
En la actualidad las tres relaciones más utilizadas se refieren al triángulo y son denominadas seno (abreviatura, sen), coseno (cos) y tangente (tg). Lo que estas relaciones representan exactamente, y la forma en que se aplican para talar un árbol sin exponerse a romper el tejado, puede verse en las páginas siguientes.
Las relaciones representadas por el seno, coseno y tangente de un ángulo varían en valor numérico a medida que varía la abertura de los ángulos. Los griegos calcularon dichos valores y los dispusieron en tablas trigonométricas que los matemáticos más tarde perfeccionaron y ampliaron. Estas tablas fueron, durante mucho tiempo, una mera forma de matemáticas aplicadas, de los navegantes celestes y terrestres. Después, el notable algebraico francés, Francis Vieta, que precedió a Descartes en medio siglo, hizo una observación vital. Percibió que una relación o razón trigonométrica podía utilizarse para resolver una ecuación algebraica; que, en efecto, una serie de números de una tabla podían representar los valores sucesivos tomados por una incógnita. La proposición de que «el seno del ángulo x es y» puede también escribirse así
Las relaciones representadas por el seno, coseno y tangente de un ángulo varían en valor numérico a medida que varía la abertura de los ángulos. Los griegos calcularon dichos valores y los dispusieron en tablas trigonométricas que los matemáticos más tarde perfeccionaron y ampliaron. Estas tablas fueron, durante mucho tiempo, una mera forma de matemáticas aplicadas, de los navegantes celestes y terrestres. Después, el notable algebraico francés, Francis Vieta, que precedió a Descartes en medio siglo, hizo una observación vital. Percibió que una relación o razón trigonométrica podía utilizarse para resolver una ecuación algebraica; que, en efecto, una serie de números de una tabla podían representar los valores sucesivos tomados por una incógnita. La proposición de que «el seno del ángulo x es y» puede también escribirse así
y = sen x
una ecuación válida, digamos, como y = x2 + 7x. La forma en que el descubrimiento de Vieta amplió el alcance de la trigonometría se aclaró aún más cuando Descartes introdujo su técnica de los gráficos. Una ecuación tal como y = sen x podía ahora representarse de hecho, punto por punto, para crear una curva en un papel; incidentalmente, constituye una línea ondulada sin fin - el equivalente gráfico del flujo y reflujo de la corriente eléctrica en un cable de corriente alterna.
Al igual que con la trigonometría, el sistema cartesiano alcanzó y absorbió la parte externa de las matemáticas que todo estudiante de bachillerato conoce por el nombre de «logaritmos». Un logaritmo es el «exponente» de un número, que indica a qué potencia debe de elevarse el número a fin de producir otro número dado. Al familiarizarse con los logaritmos, pueden ahorrarse gran cantidad de operaciones aritméticas. Esta fue precisamente la intención del inventor de los logaritmos, John Napier, barón de Merchiston, el mismo que utilizó por primera vez la coma decimal en su contexto moderno.
Este modesto e incansable escocés concibió la idea de los logaritmos cuatro décadas antes de que Descartes publicara su Método. Después de más de 20 años de cálculos, Napier mostró, en esencia, que todo número - independientemente del número de dígitos que contenga - puede expresarse en términos del número 10 elevado a tal y cual potencia. De la misma forma que 100 es 102, 56 es 101,74819 y 23 es 101,36173. Además, cuando los exponentes de estos dos últimos 10 se suman, el resultado es una nueva potencia de 10, 103,10992, que al hacer la operación resulta 1.288, o 56 multiplicado por 23. Al restar el menor de estos dos exponentes de 10 del mayor resulta 100,38646 que al hacer la operación es el número que resulta de dividir 56 por 2,43478.
Al igual que con la trigonometría, el sistema cartesiano alcanzó y absorbió la parte externa de las matemáticas que todo estudiante de bachillerato conoce por el nombre de «logaritmos». Un logaritmo es el «exponente» de un número, que indica a qué potencia debe de elevarse el número a fin de producir otro número dado. Al familiarizarse con los logaritmos, pueden ahorrarse gran cantidad de operaciones aritméticas. Esta fue precisamente la intención del inventor de los logaritmos, John Napier, barón de Merchiston, el mismo que utilizó por primera vez la coma decimal en su contexto moderno.
Este modesto e incansable escocés concibió la idea de los logaritmos cuatro décadas antes de que Descartes publicara su Método. Después de más de 20 años de cálculos, Napier mostró, en esencia, que todo número - independientemente del número de dígitos que contenga - puede expresarse en términos del número 10 elevado a tal y cual potencia. De la misma forma que 100 es 102, 56 es 101,74819 y 23 es 101,36173. Además, cuando los exponentes de estos dos últimos 10 se suman, el resultado es una nueva potencia de 10, 103,10992, que al hacer la operación resulta 1.288, o 56 multiplicado por 23. Al restar el menor de estos dos exponentes de 10 del mayor resulta 100,38646 que al hacer la operación es el número que resulta de dividir 56 por 2,43478.
Los matemáticos lo han enunciado en las «leyes de los exponentes»: la suma de los exponentes es equivalente a la multiplicación, y la resta de éstos es equivalente a la división. Napier arregló sus cálculos logarítmicos en tablas apropiadas.
Para calcular 56 multiplicado por 23 no se precisa más que un lápiz y un pedazo de papel o, a lo sumo, la ayuda manual para abreviar cálculos conocida por la regla de cálculo, artilugio que consiste en un par de reglas divididas en escalas logarítmicas y unidas de forma tal que una pueda deslizarse sobre la otra (ilustrado abajo).
Donde el sublime trabajo de Napier mayor resonancia adquiere es en las laboriosas y largas computaciones - cuando, por ejemplo, un economista divide 503.443.000.000 dólares, nuestro producto nacional bruto en 1960, por nuestra población en aquel año, 179.323.175 habitantes.
El desarrollo del sistema cartesiano hizo posible trazar curvas para las relaciones logarítmicas tales como y = log x con tanta facilidad como lo hizo para las relaciones trigonométricas, tales como y = sen x. Al hacer posible que tales ecuaciones, así como todas las ecuaciones algebraicas, se expresaran por medio de líneas y puntos visibles y viables, el gráfico cartesiano, en efecto, captó y suavizó las cambiantes relaciones entre cantidades interrelacionadas. De este triunfo derivó un concepto fundamental para todas las matemáticas superiores: la idea de «variables» y «funciones».
Para calcular 56 multiplicado por 23 no se precisa más que un lápiz y un pedazo de papel o, a lo sumo, la ayuda manual para abreviar cálculos conocida por la regla de cálculo, artilugio que consiste en un par de reglas divididas en escalas logarítmicas y unidas de forma tal que una pueda deslizarse sobre la otra (ilustrado abajo).
Donde el sublime trabajo de Napier mayor resonancia adquiere es en las laboriosas y largas computaciones - cuando, por ejemplo, un economista divide 503.443.000.000 dólares, nuestro producto nacional bruto en 1960, por nuestra población en aquel año, 179.323.175 habitantes.
El desarrollo del sistema cartesiano hizo posible trazar curvas para las relaciones logarítmicas tales como y = log x con tanta facilidad como lo hizo para las relaciones trigonométricas, tales como y = sen x. Al hacer posible que tales ecuaciones, así como todas las ecuaciones algebraicas, se expresaran por medio de líneas y puntos visibles y viables, el gráfico cartesiano, en efecto, captó y suavizó las cambiantes relaciones entre cantidades interrelacionadas. De este triunfo derivó un concepto fundamental para todas las matemáticas superiores: la idea de «variables» y «funciones».
Si x e y pueden relacionarse a través de una ecuación o gráfico, se denominan «variables»: es decir, una cambia de valor cuando varía la otra. Las dos tienen lo que se conoce por relación funcional; la variable cuya variación procede del cambio de la otra variable se denomina una «función» de aquella otra variable.
Un sen, o cos, o una tangente de un ángulo, es una función de aquel ángulo; de forma análoga, un logaritmo es una función del número que representa. En una ecuación, y es una función de x si los valores de y varían cuando lo hacen los de x.
Aunque aparentemente de interés remoto para todos, excepto el matemático, la idea de variables y funciones ha pasado a ser ubicua. Si se muestra que la humedad del aire viene afectada por la temperatura, es una función de la temperatura. La presión sanguínea de un gerente, que sube a cada cumpleaños, es una función de su edad. La distancia recorrida por su coche es una función del tiempo y de la velocidad.
Más allá de dar ímpetu al concepto de variables y funciones, más allá de hacer posible un alcance más completo a los anteriores descubrimientos matemáticos, la contribución básica del sistema cartesiano a las matemáticas fue esencialmente filosófica. Al permitir una amplia intercambiabilidad de puntos de vista, dio lugar a la libertad matemática conocida ahora por «análisis», que abarca la mayor parte de las matemáticas superiores inventadas desde la época de Descartes.
Un algebraico que se embarca en una de sus salidas más abstractas y termina dudando acerca de su dirección, puede trazar curvas para sus ecuaciones, aclarando más de esta forma las x y las y. El que practica la geometría, por otro lado, puede realizar largas cadenas de razonamientos con una rapidez considerable manipulando las formas como ecuaciones.
En toda cuestión de aplicaciones concretas, todo cambio y movimiento en la naturaleza puede considerarse ahora en forma de doble contenido cual es el de la ecuación o la curva. El constructor de un puente puede expresar la curva de un cable flojo como una ecuación y, a través de sus x e y, aumentar la comprensión sobre las tensiones del puente. El científico experimental puede transformar todas las interrelaciones y fluctuaciones que mide en la naturaleza en conjuntos de números que pueden ser representados sobre papel. Si, después de repetidas pruebas de un solo experimento, obtiene la misma curva y ecuación, puede llegar a formular una ley que vale la pena de interpretar por medio de palabras e ideas. Una vez comprendida totalmente, puede combinarse con otras fórmulas para sugerir nuevas posibilidades acerca de la naturaleza.
Aunque aparentemente de interés remoto para todos, excepto el matemático, la idea de variables y funciones ha pasado a ser ubicua. Si se muestra que la humedad del aire viene afectada por la temperatura, es una función de la temperatura. La presión sanguínea de un gerente, que sube a cada cumpleaños, es una función de su edad. La distancia recorrida por su coche es una función del tiempo y de la velocidad.
Más allá de dar ímpetu al concepto de variables y funciones, más allá de hacer posible un alcance más completo a los anteriores descubrimientos matemáticos, la contribución básica del sistema cartesiano a las matemáticas fue esencialmente filosófica. Al permitir una amplia intercambiabilidad de puntos de vista, dio lugar a la libertad matemática conocida ahora por «análisis», que abarca la mayor parte de las matemáticas superiores inventadas desde la época de Descartes.
Un algebraico que se embarca en una de sus salidas más abstractas y termina dudando acerca de su dirección, puede trazar curvas para sus ecuaciones, aclarando más de esta forma las x y las y. El que practica la geometría, por otro lado, puede realizar largas cadenas de razonamientos con una rapidez considerable manipulando las formas como ecuaciones.
En toda cuestión de aplicaciones concretas, todo cambio y movimiento en la naturaleza puede considerarse ahora en forma de doble contenido cual es el de la ecuación o la curva. El constructor de un puente puede expresar la curva de un cable flojo como una ecuación y, a través de sus x e y, aumentar la comprensión sobre las tensiones del puente. El científico experimental puede transformar todas las interrelaciones y fluctuaciones que mide en la naturaleza en conjuntos de números que pueden ser representados sobre papel. Si, después de repetidas pruebas de un solo experimento, obtiene la misma curva y ecuación, puede llegar a formular una ley que vale la pena de interpretar por medio de palabras e ideas. Una vez comprendida totalmente, puede combinarse con otras fórmulas para sugerir nuevas posibilidades acerca de la naturaleza.
4. Filosofía con un sombrero con plumas
El hombre que abrió la puerta a las matemáticas superiores, paradójicamente, no se dedicó personalmente mucho tiempo a las matemáticas. En lugar de ello, Descartes, dedicado profesionalmente a la filosofía, decidió reconstruirla según sus propias luces. De regreso a París, después de la guerra, resultaba una figura excéntrica, con una espada al cinto, un sombrero con plumas. Por haber invertido su herencia hábilmente, vivió sin preocupaciones, padeció de mala salud y jamás se levantó antes de las once de la mañana. Los admiradores le molestaban; estuvo siempre buscando paz y tranquilidad para poder pensar. Se dedicó a investigaciones sobre la fisiología humana, cadáveres de animales, glaciares, meteoros, arco iris y altitudes de las montañas. Antes de la publicación de su Método insinuó que había hallado un medio de hacer al hombre omnisciente.
Aburrido de París, Descartes se fue a Holanda. Allí, en 1637, su monumental obra finalmente vio la luz de la imprenta. Durante el largo tiempo que duró su publicación, otro matemático, el teórico del número Pierre de Fermat, había desarrollado independientemente una buena parte de geometría analítica por su cuenta. Pero Fermat también tardó en escribir sus ideas y, por lo tanto, al final, a Descartes no se le despojó del reconocimiento de su invención.
Sólo el fraile francés padre Mersenne, que realizó la función de cámara de compensación científica de la época, y transmitió todas las comunicaciones de Descartes a los colegas filósofos y matemáticos, siempre sabía su dirección.
Descartes terminó de una forma tan desastrosa, en su aspecto tragicómico, como las trágicas muertes de Arquímedes e Hipatia. Durante su estancia en Holanda su popularidad, de un modo u otro, llegó a oídos de la reina Cristina de Suecia.
Descartes rechazó a esta amazona del Norte durante un año entero, pero cuando ella le mandó un barco de guerra a buscarlo, el halago era demasiado para él y subió valientemente a bordo. Cristina tenía grandes esperanzas en él. Iba a ayudarle a fundar una academia sueca de artes y letras y él iba a instruirla privadamente en filosofía. Liberalmente le concedió un período de tres semanas de aclimatación y después le arrastró - demasiado atemorizado para protestar mucho - a su temible régimen de propio mejoramiento. En cada una de las crudas mañanas del invierno escandinavo, antes de que apuntara el alba, en la enorme librería de su palacio en la que sólo la mitad tenía calefacción, Descartes trató de reunir su entumecido ingenio y exponer las investigaciones de la filosofía y las matemáticas. Pero el inveterado intelectual de las once de la mañana duró exactamente once semanas. Después, a la edad de cincuenta y cuatro años cogió la gripe y murió, demostrando así que los cuidados que se prodigó durante toda la vida eran acertados y los de la testaruda reina equivocados.
Era el año 1650, cuando los colegas de Descartes habían empezado ya a descarnar los huesos de La Géométrie. En aquella fecha un muchacho de ocho años llamado Isaac Newton hacía volar cometas con faroles para asustar a los habitantes de los pueblos del norte de Witham en Lincolnshire, Inglaterra. Y aquel niño, transcurridos unos años, iba a transformar la geometría analítica en las matemáticas más prácticas que jamás se inventaron - el cálculo, las matemáticas del movimiento.
El hombre que abrió la puerta a las matemáticas superiores, paradójicamente, no se dedicó personalmente mucho tiempo a las matemáticas. En lugar de ello, Descartes, dedicado profesionalmente a la filosofía, decidió reconstruirla según sus propias luces. De regreso a París, después de la guerra, resultaba una figura excéntrica, con una espada al cinto, un sombrero con plumas. Por haber invertido su herencia hábilmente, vivió sin preocupaciones, padeció de mala salud y jamás se levantó antes de las once de la mañana. Los admiradores le molestaban; estuvo siempre buscando paz y tranquilidad para poder pensar. Se dedicó a investigaciones sobre la fisiología humana, cadáveres de animales, glaciares, meteoros, arco iris y altitudes de las montañas. Antes de la publicación de su Método insinuó que había hallado un medio de hacer al hombre omnisciente.
Aburrido de París, Descartes se fue a Holanda. Allí, en 1637, su monumental obra finalmente vio la luz de la imprenta. Durante el largo tiempo que duró su publicación, otro matemático, el teórico del número Pierre de Fermat, había desarrollado independientemente una buena parte de geometría analítica por su cuenta. Pero Fermat también tardó en escribir sus ideas y, por lo tanto, al final, a Descartes no se le despojó del reconocimiento de su invención.
Sólo el fraile francés padre Mersenne, que realizó la función de cámara de compensación científica de la época, y transmitió todas las comunicaciones de Descartes a los colegas filósofos y matemáticos, siempre sabía su dirección.
Descartes terminó de una forma tan desastrosa, en su aspecto tragicómico, como las trágicas muertes de Arquímedes e Hipatia. Durante su estancia en Holanda su popularidad, de un modo u otro, llegó a oídos de la reina Cristina de Suecia.
Descartes rechazó a esta amazona del Norte durante un año entero, pero cuando ella le mandó un barco de guerra a buscarlo, el halago era demasiado para él y subió valientemente a bordo. Cristina tenía grandes esperanzas en él. Iba a ayudarle a fundar una academia sueca de artes y letras y él iba a instruirla privadamente en filosofía. Liberalmente le concedió un período de tres semanas de aclimatación y después le arrastró - demasiado atemorizado para protestar mucho - a su temible régimen de propio mejoramiento. En cada una de las crudas mañanas del invierno escandinavo, antes de que apuntara el alba, en la enorme librería de su palacio en la que sólo la mitad tenía calefacción, Descartes trató de reunir su entumecido ingenio y exponer las investigaciones de la filosofía y las matemáticas. Pero el inveterado intelectual de las once de la mañana duró exactamente once semanas. Después, a la edad de cincuenta y cuatro años cogió la gripe y murió, demostrando así que los cuidados que se prodigó durante toda la vida eran acertados y los de la testaruda reina equivocados.
Era el año 1650, cuando los colegas de Descartes habían empezado ya a descarnar los huesos de La Géométrie. En aquella fecha un muchacho de ocho años llamado Isaac Newton hacía volar cometas con faroles para asustar a los habitantes de los pueblos del norte de Witham en Lincolnshire, Inglaterra. Y aquel niño, transcurridos unos años, iba a transformar la geometría analítica en las matemáticas más prácticas que jamás se inventaron - el cálculo, las matemáticas del movimiento.
Matemáticas David Bergamini Colección cientifica de Time-Life
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