Iniciaciones Matemáticas
Una atenta alumna de primer grado se esfuerza en aprender las formas de los números. Durante este proceso repite las etapas primitivas del desarrollo matemático del hombre: después de aprender a contar, inventó las palabras para los números, y más tarde los símbolos numéricos.
Piensan los radioastrónomos que, algún día, uno de sus colegas experimentará la enorme sensación de recibir el primer mensaje procedente de seres inteligentes radicados en otro planeta o en otra estrella. ¿Y cómo descifrarán el mensaje? ¿Pero qué podrían decir que entendiéramos, estos seres diferentes de nosotros en sus orígenes y evolución, y probablemente también en su estructura biológica? Después de ponderar el problema, los científicos han concluido que el tipo de mensaje con mayor probabilidad de tener sentido en cualquier forma de vida inteligente, en cualquier parte, sería matemático.
Una raza adelantada extraterrena podría transmitir un simple fragmento de aritmética en clave, por ejemplo, y seguir repitiéndolo como tipo de señal de llamada. «Bip, bip-bip, bip-bip-bip» podría significar «Contando, uno, dos tres». «Punto-raya-punto» -pausa- «punto-punto» podría significar «Uno más uno igual a dos.» Una vez que se hubieran captado y reconocido signos sencillos de esta clase, se podrían intercambiar grupos enteros de hechos matemáticos y de fórmulas a fin de establecer un vocabulario básico para una comunicación posterior.
En el Observatorio Nacional de Radio en Green Bank, Virginia Occidental, los radioastrónomos han dirigido antenas gigantescas en forma de disco en dirección a dos estrellas remotas, Tau Cita y Épsilon Eridani, a fin de escuchar «bips» matemáticamente organizados. El que este esfuerzo haya sido efectuado con toda seriedad subraya una cualidad de universalidad en las matemáticas que todo el mundo siente, pero nadie sabe cómo definir. Muchos de los grandes pensadores de la humanidad, intoxicados por este algo indefinible, han decidido que las matemáticas representan la verdad absoluta. «Dios siempre hace geometría», dijo Platón. «Dios siempre hace aritmética», repitió el prusiano del siglo XIX Carl Gustav Jacob Jacobi. En nuestra misma época, el físico británico sir James Jeans ha declarado: «El Gran Arquitecto del Universo empieza ahora a revelarse como un matemático puro».
Hoy, aunque los matemáticos afirman la universalidad de su disciplina, muchos niegan que posea categoría de verdad absoluta. De hecho, una de las definiciones favoritas de las matemáticas es la aguda síntesis de Bertrand Russell: «La ciencia de la que nunca sabemos a qué nos referimos ni si lo que decimos es cierto». Esta definición no refleja modestia alguna, sino una jactancia tan orgullosa como jamás hiciera el hombre. En efecto, estos matemáticos dicen que su trabajo puede aplicarse al universo y a nuestro mundo debido a que lo diseñaron para que fuese aplicable a todo posible mundo y universo que pudiera imaginarse dentro de unas líneas lógicas. Dicen que las matemáticas llegan a un grado tal de sofisticación final que ya no importa la verdad o falsedad de cualquier premisa dada. Lo que importa, dicen, es que la premisa esté razonada correctamente hasta su conclusión. Utilizando este criterio, un matemático podría suponer a ciegas que la luna está hecha de queso verde, y argumentar a través de una serie de premisas hasta llegar a la conclusión de que los astronautas deberían llevar galletas «crakers».
Las matemáticas no constituyen tanto un cuerpo de conocimiento como un tipo especial de lenguaje, tan perfecto y abstracto que es de esperar sea comprendido por seres inteligentes en todo el universo. La gramática del lenguaje -su adecuada utilización- viene determinada por las reglas de la lógica. Su vocabulario está formado por símbolos tales como:
Una raza adelantada extraterrena podría transmitir un simple fragmento de aritmética en clave, por ejemplo, y seguir repitiéndolo como tipo de señal de llamada. «Bip, bip-bip, bip-bip-bip» podría significar «Contando, uno, dos tres». «Punto-raya-punto» -pausa- «punto-punto» podría significar «Uno más uno igual a dos.» Una vez que se hubieran captado y reconocido signos sencillos de esta clase, se podrían intercambiar grupos enteros de hechos matemáticos y de fórmulas a fin de establecer un vocabulario básico para una comunicación posterior.
En el Observatorio Nacional de Radio en Green Bank, Virginia Occidental, los radioastrónomos han dirigido antenas gigantescas en forma de disco en dirección a dos estrellas remotas, Tau Cita y Épsilon Eridani, a fin de escuchar «bips» matemáticamente organizados. El que este esfuerzo haya sido efectuado con toda seriedad subraya una cualidad de universalidad en las matemáticas que todo el mundo siente, pero nadie sabe cómo definir. Muchos de los grandes pensadores de la humanidad, intoxicados por este algo indefinible, han decidido que las matemáticas representan la verdad absoluta. «Dios siempre hace geometría», dijo Platón. «Dios siempre hace aritmética», repitió el prusiano del siglo XIX Carl Gustav Jacob Jacobi. En nuestra misma época, el físico británico sir James Jeans ha declarado: «El Gran Arquitecto del Universo empieza ahora a revelarse como un matemático puro».
Hoy, aunque los matemáticos afirman la universalidad de su disciplina, muchos niegan que posea categoría de verdad absoluta. De hecho, una de las definiciones favoritas de las matemáticas es la aguda síntesis de Bertrand Russell: «La ciencia de la que nunca sabemos a qué nos referimos ni si lo que decimos es cierto». Esta definición no refleja modestia alguna, sino una jactancia tan orgullosa como jamás hiciera el hombre. En efecto, estos matemáticos dicen que su trabajo puede aplicarse al universo y a nuestro mundo debido a que lo diseñaron para que fuese aplicable a todo posible mundo y universo que pudiera imaginarse dentro de unas líneas lógicas. Dicen que las matemáticas llegan a un grado tal de sofisticación final que ya no importa la verdad o falsedad de cualquier premisa dada. Lo que importa, dicen, es que la premisa esté razonada correctamente hasta su conclusión. Utilizando este criterio, un matemático podría suponer a ciegas que la luna está hecha de queso verde, y argumentar a través de una serie de premisas hasta llegar a la conclusión de que los astronautas deberían llevar galletas «crakers».
Las matemáticas no constituyen tanto un cuerpo de conocimiento como un tipo especial de lenguaje, tan perfecto y abstracto que es de esperar sea comprendido por seres inteligentes en todo el universo. La gramática del lenguaje -su adecuada utilización- viene determinada por las reglas de la lógica. Su vocabulario está formado por símbolos tales como:
- cifras para los números
- letras para los números desconocidos
- ecuaciones para las relaciones entre números
- π para la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro
- sen (para el seno), cos (para el coseno) y tan (para la tangente) para las relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo;
- √ para una raíz cuadrada
- ∞ para el infinito;
- ∑, ∫, ∂ y → para otros conceptos de las matemáticas superiores.
Todos estos símbolos ayudan muchísimo al científico, ya que sirven para abreviarle su pensamiento. Para los muchos no versados, no obstante, hacen que las matemáticas parezcan, más que una lengua universal, una barrera lingüística entre «dos culturas».
Sólo una parte del vocabulario de las matemáticas ha sido seleccionado por la ciencia. El resto -y toda su gramática- permanece en la esfera del pensamiento general humano. En realidad, las matemáticas pueden relacionarse tanto con la filosofía, la economía, la estrategia militar, la composición musical, la perspectiva artística y los juegos de salón como con la física atómica. Se comprende que quien esté instruido en matemáticas pueda amarlas con tanta efusión como un apasionado del ballet, de la plata fina, de las antigüedades o de cualquier otro adorno de la civilización.
Debido a su aspecto estético y a su total falta de relación con la práctica, las matemáticas puras pueden parecer el logro más absurdo jamás imaginado por los soñadores. Pero incluso algunas ramas de las matemáticas que hasta hace poco se consideraban inútiles, hoy han adquirido una importancia vital para los industriales, los generales y los planificadores gubernamentales. Nuestra civilización apenas existiría sin las leyes físicas y las técnicas intelectuales desarrolladas como producto conjunto con la investigación matemática. Nadie puede saldar su talonario de cheques sin hacer uso de la aritmética inventada por los antiguos mesopotámicos e hindúes. Nadie puede construir una pared sin utilizar las técnicas de medición geométrica creadas por los matemáticos egipcios. Fueron los pioneros griegos de la geometría quienes concibieron la idea que la tierra podría tener la forma de una esfera. Las matemáticas clásicas, al ser rescatadas del olvido de la Edad de las Tinieblas, favorecieron la propagación del espíritu aventurero de la era de Colón. Los hombres que forjaron la Revolución Industrial pusieron su confianza en las máquinas y en las investigaciones de Galileo y Newton. Hoy en día, la investigación atómica descansa en gran parte en la Teoría de la Relatividad de Einstein, quien a su vez utilizó las abstrusas especulaciones matemáticas del siglo XIX.
Los dos pilares de las matemáticas de la Antigüedad fueron la aritmética, la ciencia de los números, y la geometría, la ciencia de las formas y de las relaciones espaciales. A través de los siglos la aritmética fue ampliada por el álgebra, la cual suministró una notación abreviada para resolver los problemas en el supuesto de que hubiese cantidades desconocidas. En el siglo XVII, la aritmética y el álgebra se unificaron con la geometría en la «geometría analítica», la cual suministró una técnica para representar los números como puntos en un diagrama, para convertir las ecuaciones en formas geométricas y para convertir las formas geométricas en ecuaciones. La aproximación analítica de esta nueva geometría, aclarando una rama de las matemáticas en función de otra, abrió el camino a disciplinas de matemáticas superiores resumidas en la palabra «análisis».
El primer descendiente del análisis fue el cálculo, un sistema para analizar el cambio y el movimiento en función de puntos o números unidos en una sucesión continua. Esto permite a los científicos solucionar problemas de dinámica: comprender las ondulaciones de una onda, la trayectoria de una estrella errante. El cálculo continúa siendo un patrón para los tecnólogos cuando diseñan coches y cohetes.
Muchos científicos creían, cuando el cálculo empezó a utilizarse por primera vez, que les permitiría finalmente predecir el comportamiento continuo de todo objeto en movimiento. Pero en la misma época aproximadamente, mediante el estudio de los juegos de azar, los matemáticos descubrieron las leyes de la probabilidad que recordaron la creciente incertidumbre que acecha prácticamente a toda sucesión de hechos. En la actualidad dichas leyes sirven para facilitar el cálculo de lo que debe pagar un hombre de cincuenta años por una nueva póliza de seguros. Hacen posible que los contadores de votos puedan hacer una predicción exacta del resultado de las elecciones. Y se utilizan en los experimentos atómicos para valorar estadísticamente tipos de distribución de la descarga que efectúan los millones de invisibles partículas subatómicas cuando dan en el blanco en el fondo de un desintegrador de átomos.
Por medio de ecuaciones muy complicadas descubiertas a partir del cálculo y de la geometría analítica, los matemáticos concibieron formas geométricas fuera del alcance de nuestra vista: formas de un número cualquiera de dimensiones. También concibieron espacios de infinitas dimensiones para hacer encajar las formas. El concepto de espacio de más de tres dimensiones se ha tornado fundamental para las ideas acerca de la relatividad y el universo.
También ha servido para la solución de difíciles problemas referentes a campos eléctricos y magnéticos del complicado mecanismo de los computadores y de los aparatos de televisión. En la época actual los geómetras están alcanzando una abstracción todavía mayor de su arte a través de la «topología», el arte de analizar aquellas propiedades de una forma que permanecen inalteradas después de que ésta se ha contraído, alargado o retorcido.
3. La lógica de los ojos azules
Otros matemáticos han retrocedido para encontrar la inspiración entre las más elementales de todas las ideas matemáticas. Los «teóricos del número» han vuelto a los primeros pasos, los más falaces, por los que contamos, y reiteradamente han llegado a la conclusión de que los enteros son los más engañosos, estimulantes y divertidos de los temas que estudian las matemáticas. Incluso los procesos fundamentales del propio pensamiento han pasado a ser objeto de la exploración matemática. Los significados de los nombres y de los verbos utilizados en el razonamiento humano habitual, dicen los matemáticos, están sujetos a diferentes interpretaciones: ¿por qué no reemplazarlos por símbolos numéricos precisos y por operaciones concretas tales como la suma y la multiplicación? Si tal se hiciera, se lograría hacer desaparecer la ambigüedad de la interpretación. Los que proponen «esta lógica simbólica» han buscado ansiosamente la manera de reducir todos los objetos de estudio humano a «conjuntos» y «grupos», colecciones de pensamientos o de cosas que van enlazadas lógicamente, tales como «todos los ojos azules» o «todas las señoras que conducen». Y han tratado de encontrar caminos estrictamente lógicos para no hacer comparaciones odiosas al relacionar los elementos de un conjunto o de un grupo con los de otro.
Las distintas clases de matemáticas arriba esbozadas constituyen los montes principales de estas cordilleras. Las ramas de la geometría comprenden la proyectiva, la afín, la euclidiana y la de Riemann; las del álgebra incluyen la de Banach, la de Boole y la conmutativa. Todas estas ingeniosas creaciones del pensamiento no tan sólo tienen aplicación en la vida cotidiana, sino que en cierto sentido emanan de la vida misma. Cuando un indio del Amazonas dispara una flecha envenenada a un mono que está en la copa de un árbol, intuitivamente está juzgando la trayectoria de un proyectil que podría ser estimada más exactamente a través del análisis y de las leyes del movimiento. Cuando aceleramos el coche, arriesgamos la vida por una estimación precisable por medio del cálculo.
En la actualidad apenas existe actividad humana o proceso del pensamiento que los matemáticos no hayan intentado reducir a sus elementos esenciales. Como resultado de esto, las matemáticas han seguido desarrollándose. Sus grandes obras son revisadas continuamente y puestas en términos más simétricos, generales y precisos. Esta revisión sin fin ha contribuido a evitar que las matemáticas, incluso después de unos 6.000 años de desarrollo, llegaran a ser voluminosas y dispersas. Hasta hace un siglo, un matemático dotado podía confiar en dominarlas con bastante detalle; incluso en la actualidad, un estudiante puede obtener una visión de conjunto bastante representativa, a fin de elegir una especialidad.
Inevitablemente el lenguaje de las matemáticas ha pasado a ser mucho más útil y difícil que cualquiera de las lenguas habladas. Los niños tienen una mayor oportunidad que los adultos para familiarizarse con él. Más de un padre puede mirar desdeñosamente a su hijo que está en la escuela elemental y que está familiarizado con parte de la terminología e ideas de la lógica simbólica, pero el hecho es que básicamente los nuevos conceptos de las matemáticas superiores son a menudo mucho menos difíciles que las ideas del último curso de aritmética elemental. Un grupo de matemáticos franceses que trabajan bajo el pseudónimo colectivo de «Nicholas Bourbaki» demostraron este punto hace algunos años cuando emprendieron una descripción enciclopédica de todas las matemáticas y encontraron que habían dedicado 200 páginas para el concepto, aparentemente inocente, del número «uno».
Mientras que ambas técnicas pedagógicas y de solución de problemas pueden a menudo simplificarse, los fundamentos abstractos nunca pueden ser expresados en forma fácil. Hace unos 2.300 años, se dice que Ptolomeo I pidió al matemático griego Euclides una explicación rápida de la geometría. La respuesta fue áspera: «No hay en la geometría camino especial para los reyes». La respuesta de Euclides sigue siendo válida. Los profesionales que se han adentrado por este camino, naturalmente, sienten una mezcla de superioridad y de impotencia hacia todos los Ptolomeos preguntones de la actualidad.
Afortunadamente, de la misma forma que no es necesario llegar a hablar con fluidez la lengua de un país para apreciar el carácter de su pueblo, tampoco es necesario ser capaz de decir a un matemático -o incluso pronunciarlo correctamente- para poder apreciar las ramas principales de su disciplina, a saber de qué tratan, por qué emocionan y tienen valor, y cómo han llegado a tener existencia.
Muchos no tienen nombres para los números superiores al dos o al tres. En parte, sin duda alguna, la razón es que viven en pequeños grupos familiares y son pobres en posesiones. Probablemente, también tienen pocas palabras para representar grupos. Algunos son botánicos instintivos que pueden reconocer y nombrar cientos de distintas especies de árboles, pero no tienen una palabra genérica para el árbol mismo. Un jefe indio del Brasil es probable que reaccione con desdén a la pregunta «¿cuántos?» Si se le presiona, normalmente recurre a un brujo -los antropólogos, por cierto, llaman a este hombre un «numerador»- para que invente nombres de números compuestos a partir de 1, 2, 3, y los recite después de cada objeto que el jefe enumere.
Al retirarse los glaciares hace unos 10.000 años, originando un cambio de clima, los hombres que habían sido cazadores nómadas de la Edad de Piedra se reunieron paulatinamente en los valles del Nilo, Tigris y Éufrates y se dedicaron a la agricultura. Inmediatamente el campesino individual afrontó el problema de tener en cuenta los días y las estaciones, de saber cuándo tenía que plantar y la cantidad de grano y semilla que debía guardar, de pagar las deudas sociales llamadas impuestos y dejar una herencia equitativa de tierra a sus hijos. Todos estos incidentes hicieron preciso que se diera nombre a los números y que se elaborara la operación de contar más allá de las nociones de «uno» y «muchos».
4. Los dedos de la mano, los del pie y las antiguas veintenas
Algunas tribus antiguas, según se cree, utilizaban una base de dos para contar: 1, 2, 2-1, 2-2, 2-2-1, etc. Otras utilizaban una base de 3: 1, 2, 3, 3-1, 3-2, 3-3, 3-3-1, etc. A medida que se convertían en campesinos y constructores, las gentes más avanzadas aumentaron su límite básico para contar. Muchos utilizaron sus propios dedos de la mano y del pie como instrumentos de cálculo, contando así hasta 20. Los sistemas de numeración con base 20 están todavía presentes en las palabras francesas de 80 y 90, «quatre-vingt» y «quatre-vingt-dix», que significan «cuatro veintes» y «cuatro veintes y diez», y en la libra inglesa de 20 chelines.
(El tradicional sistema británico, con sus medio penique, penique, tres peniques, seis peniques, chelines, medias coronas, libras y guineas, es un sistema de ½ -1-3-6-12-30-240-252, una mezcla de varios sistemas arcaicos que el Parlamento decidió abandonar en 1967.)
Cualquiera que fuera el sistema que utilizaran para contar, parece ser que los comerciantes de las primeras civilizaciones utilizaron guijas amontonadas en el suelo para representar los números contados. Probablemente de este método derivó el mecanismo de cálculo conocido por ábaco, que todavía se utiliza como un instrumento común en los bazares de Teherán a Hong-Kong. El ábaco puede haber empezado como una especie de pote de póquer en el que una clase determinada de fichas debía representar el 1, otra el 10, otra el 100. Con el tiempo, se desarrollaron distintos tipos de ábaco. Algunos estaban organizados mecánicamente de forma tal que las fichas de uno se deslizaban por una barra, las fichas de 10 por otra, las fichas de cien y de mil en una tercera y una cuarta.
La destreza en el uso de las fichas de cálculo para los cálculos financieros puede haber retrasado la perfección de los números escritos.
Al retirarse los glaciares hace unos 10.000 años, originando un cambio de clima, los hombres que habían sido cazadores nómadas de la Edad de Piedra se reunieron paulatinamente en los valles del Nilo, Tigris y Éufrates y se dedicaron a la agricultura. Inmediatamente el campesino individual afrontó el problema de tener en cuenta los días y las estaciones, de saber cuándo tenía que plantar y la cantidad de grano y semilla que debía guardar, de pagar las deudas sociales llamadas impuestos y dejar una herencia equitativa de tierra a sus hijos. Todos estos incidentes hicieron preciso que se diera nombre a los números y que se elaborara la operación de contar más allá de las nociones de «uno» y «muchos».
4. Los dedos de la mano, los del pie y las antiguas veintenas
Algunas tribus antiguas, según se cree, utilizaban una base de dos para contar: 1, 2, 2-1, 2-2, 2-2-1, etc. Otras utilizaban una base de 3: 1, 2, 3, 3-1, 3-2, 3-3, 3-3-1, etc. A medida que se convertían en campesinos y constructores, las gentes más avanzadas aumentaron su límite básico para contar. Muchos utilizaron sus propios dedos de la mano y del pie como instrumentos de cálculo, contando así hasta 20. Los sistemas de numeración con base 20 están todavía presentes en las palabras francesas de 80 y 90, «quatre-vingt» y «quatre-vingt-dix», que significan «cuatro veintes» y «cuatro veintes y diez», y en la libra inglesa de 20 chelines.
(El tradicional sistema británico, con sus medio penique, penique, tres peniques, seis peniques, chelines, medias coronas, libras y guineas, es un sistema de ½ -1-3-6-12-30-240-252, una mezcla de varios sistemas arcaicos que el Parlamento decidió abandonar en 1967.)
Cualquiera que fuera el sistema que utilizaran para contar, parece ser que los comerciantes de las primeras civilizaciones utilizaron guijas amontonadas en el suelo para representar los números contados. Probablemente de este método derivó el mecanismo de cálculo conocido por ábaco, que todavía se utiliza como un instrumento común en los bazares de Teherán a Hong-Kong. El ábaco puede haber empezado como una especie de pote de póquer en el que una clase determinada de fichas debía representar el 1, otra el 10, otra el 100. Con el tiempo, se desarrollaron distintos tipos de ábaco. Algunos estaban organizados mecánicamente de forma tal que las fichas de uno se deslizaban por una barra, las fichas de 10 por otra, las fichas de cien y de mil en una tercera y una cuarta.
La destreza en el uso de las fichas de cálculo para los cálculos financieros puede haber retrasado la perfección de los números escritos.
Y fue a partir del desarrollo de las anotaciones escritas para los números de donde brotaron las ideas de la aritmética y álgebra modernas. Una de las formas más elementales de escribir los números la conservamos en los números romanos I, II, II, IV, V, VI, etc. Básicamente es una técnica según la cual cada número se expresa como la adición o sustracción de unos cuantos símbolos básicos. Utilizamos un sistema similar cuando anotamos los resultados a través de |, ||, |||, ||||.
Se cree que los símbolos escritos, para los números que utilizamos en la actualidad, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, deben su origen a los hindúes. Se idearon para un método de cálculo de base 10, o «decimal», denominado así a partir de la palabra latina décima, que significa diez o diezmo. La forma en que unimos nuestros números parece bastante simple, pero de hecho es el resultado artificioso de siglos de desarrollo, lo que los matemáticos denominan una «notación posicional». En este sistema la posición de cada dígito en una sucesión de números determina su valor. Los números mayores de uno están separados de los números menores (las fracciones) por una coma decimal. A la izquierda de la coma, el primer dígito vale lo que representa; el dígito siguiente vale diez veces su valor representativo; el dígito siguiente cien veces; el siguiente mil veces su valor, y así sucesivamente. A la derecha de la coma, el primer dígito vale 1/10 de su valor; el dígito siguiente, 1/100; el siguiente, 1/1.000, etc.
El número 8.765,4321, por ejemplo, significa:
El sistema para contar que se utiliza en la actualidad -el sistema de notación posicional decimal, para designarlo con su nombre completo utiliza una base de 10. Pero en modo alguno está justificado que no escribamos en su lugar números con una base de 12 ó 20. Durante más de la mitad del transcurso de la civilización los científicos del mundo occidental escribieron sus fracciones por un sistema de notación posicional en una base diferente. Era un sistema «sexagesimal», sorprendentemente artificioso, de los antiguos mesopotámicos, a base del número 60.
A pesar que 60 es un número extraordinariamente grande para utilizarlo como la base de un sistema de notación, todavía lo utilizamos diariamente en nuestra división de la hora en 60 minutos, del minuto en 60 segundos, y en la del círculo en 6 veces 60°. Si un oficial de la marina dice a sus hombres que sincronicen sus relojes a las 5:07:09, saben que quiere decir nueve segundos y siete minutos después de las 5 en punto. Pocos serían capaces de descifrar el número antiguo de base 60, 579, por el que los mesopotámicos querían decir:
El sistema de base 60 tenía un importante inconveniente derivado de su amplia base. Para representar cada número desde cero hasta 59, los mesopotámicos tuvieron que hacer frente a la situación de tener que idear 59 símbolos separados. Nadie, ni siquiera los amantes de los números, sumerios y babilonios, quienes habitaron en Mesopotamia a continuación, quisieron jamás aprender de memoria los 59 números. Para superar esta dificultad, los antiguos utilizaron combinaciones de dos símbolos cuneiformes, uno que representa al número 1, el otro que representa el número 10.
5. El esplendoroso 60
Con su única desventaja, el sistema de base 60 también tenía ciertas virtudes. El número 60 es divisible por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60, mientras que 10 sólo es divisible por 1, 2, 5 y 10. Esto significa que los problemas de aritmética resueltos por el sistema 60 dieron resultados exactos con más frecuencia que el sistema de base 10. Lo que tal vez fue más importante para los mesopotámicos, que eran ávidos astrónomos, es que las base 60 encajaba bien con su división del año en 360 días.
Se cree que los símbolos escritos, para los números que utilizamos en la actualidad, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, deben su origen a los hindúes. Se idearon para un método de cálculo de base 10, o «decimal», denominado así a partir de la palabra latina décima, que significa diez o diezmo. La forma en que unimos nuestros números parece bastante simple, pero de hecho es el resultado artificioso de siglos de desarrollo, lo que los matemáticos denominan una «notación posicional». En este sistema la posición de cada dígito en una sucesión de números determina su valor. Los números mayores de uno están separados de los números menores (las fracciones) por una coma decimal. A la izquierda de la coma, el primer dígito vale lo que representa; el dígito siguiente vale diez veces su valor representativo; el dígito siguiente cien veces; el siguiente mil veces su valor, y así sucesivamente. A la derecha de la coma, el primer dígito vale 1/10 de su valor; el dígito siguiente, 1/100; el siguiente, 1/1.000, etc.
El número 8.765,4321, por ejemplo, significa:
8 x 1.000 + 7 x 100 + 6 x 10 +5 x 1 + 4 x 1/10 + 3 x 1/100 + 2 x 1/1.000 + 1/10.000.
Finalmente se inventó un sistema abreviado, el denominado «potencial», o «exponencial», mediante el cual el número 8.765,4321 puede expresarse también así:
8 x 103 + 7 x 102 + 6 x 101 + 5 x 100 + 4 x 10-1 + 3 x 10-2 + 2 x 10-3 + 1 x 10-4.
En el caso de 103 el número 3 indica la «potencia» y es otra forma de escribir 10 x 10 x 10, o sea 1.000. De manera parecida, se usan los exponentes negativos para denotar las fracciones decimales; así:
10-3 = 1/103 = 1/1.000.
Dentro de este sistema de potencias se plantea algunas veces la cuestión del significado de 100 ó 10 elevado a cero. De nuestra sucesión de cifras, 8.765,4321, resulta obvio que 100 se encuentra entre 101 y 10-1 o entre 10 y 1/10 y, por lo tanto, 100 se define arbitrariamente que es igual a uno. Esta simetría de los exponentes se extiende a otros números y, excepto el cero, todo número elevado a la potencia cero se define como igual a 1.El sistema para contar que se utiliza en la actualidad -el sistema de notación posicional decimal, para designarlo con su nombre completo utiliza una base de 10. Pero en modo alguno está justificado que no escribamos en su lugar números con una base de 12 ó 20. Durante más de la mitad del transcurso de la civilización los científicos del mundo occidental escribieron sus fracciones por un sistema de notación posicional en una base diferente. Era un sistema «sexagesimal», sorprendentemente artificioso, de los antiguos mesopotámicos, a base del número 60.
A pesar que 60 es un número extraordinariamente grande para utilizarlo como la base de un sistema de notación, todavía lo utilizamos diariamente en nuestra división de la hora en 60 minutos, del minuto en 60 segundos, y en la del círculo en 6 veces 60°. Si un oficial de la marina dice a sus hombres que sincronicen sus relojes a las 5:07:09, saben que quiere decir nueve segundos y siete minutos después de las 5 en punto. Pocos serían capaces de descifrar el número antiguo de base 60, 579, por el que los mesopotámicos querían decir:
5 x 602 + 7 x 601 + 9 x 60°;
pero si pudieran llegarían al número actual 18.429. Y esto es lo que 5:07:09 significa: exactamente 18.429 segundos después de medianoche.El sistema de base 60 tenía un importante inconveniente derivado de su amplia base. Para representar cada número desde cero hasta 59, los mesopotámicos tuvieron que hacer frente a la situación de tener que idear 59 símbolos separados. Nadie, ni siquiera los amantes de los números, sumerios y babilonios, quienes habitaron en Mesopotamia a continuación, quisieron jamás aprender de memoria los 59 números. Para superar esta dificultad, los antiguos utilizaron combinaciones de dos símbolos cuneiformes, uno que representa al número 1, el otro que representa el número 10.
5. El esplendoroso 60
Con su única desventaja, el sistema de base 60 también tenía ciertas virtudes. El número 60 es divisible por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60, mientras que 10 sólo es divisible por 1, 2, 5 y 10. Esto significa que los problemas de aritmética resueltos por el sistema 60 dieron resultados exactos con más frecuencia que el sistema de base 10. Lo que tal vez fue más importante para los mesopotámicos, que eran ávidos astrónomos, es que las base 60 encajaba bien con su división del año en 360 días.
El sistema 60 se originó con anterioridad al año 1700 a. de C. Las tablas cuneiformes de esa época muestran que por entonces ya era utilizado para las grandes hazañas del cálculo por parte de los matemáticos del reino de Hammurabi, rey-intelectual de Babilonia. Pero por aquel entonces no tenían ningún símbolo para el cero. Para indicar una posición vacía en una sucesión de números, dejaban un hueco. Pero como a menudo se olvidaban de hacerlo, a veces los números resultaban ambiguos.
Alrededor del año 300 a. de C., la era del siguiente grupo importante de tablas cuneiformes que han descubierto los arqueólogos, había aparecido un símbolo para el cero, una señal algo parecida a una W con los extremos elevados.
Durante este período los persas gobernaban Mesopotamia, y el sistema 60 mostraba un considerable desarrollo sobre su forma original. La naturaleza prodigiosa de lo que se había logrado puede estimarse echando un vistazo a una secuencia de cifras del sistema 60 de sólo cuatro lugares. Si, por ejemplo, los persas deseaban expresar el número cinco millones once mil ciento sesenta y siete, lo hacían así: 23,11,59,27 que significa
Después, probablemente alrededor del año 500, algún hindú ideó una notación posicional para el sistema decimal. Los hindúes abandonaron los ya innecesarios símbolos escritos que habían utilizado para los números mayores de 9 y estandarizaron los símbolos de los nueve primeros. Aunque modernizados posteriormente, estos nueve símbolos constituyen lo que hoy conocemos por números del uno al nueve. El signo para el cero no se obtuvo hasta que se desarrolló la notación posicional.
El primer gran popularizador de esta notación fue un matemático árabe, al-Khowarizmi de Bagdad, quien alrededor del año 825 escribió un libro sobre los números indios en el que recomendaba la nueva técnica a los matemáticos y comerciantes del resto del mundo. Los nuevos números tardaron dos siglos en llegar a España, donde fueron reconstituidos en una escritura moderna reconocible a la que se conoce por guarismos de Ghobar, denominados así, según se cree, debido a la palabra árabe «polvo», o arena, ya que ocasionalmente se utilizaba una especie de caja de arena para contar. A finales del siglo XIII el gobierno de la ciudad de Florencia estaba dictando leyes contra el uso de los primeros guarismos decimales a fin de proteger a los honrados ciudadanos de las fáciles alteraciones, que los falsificadores de billetes de Banco, por ejemplo, podían realizar en los números 0, 6 y 9. Por la misma época la nueva técnica para escribir números llegó a Inglaterra con el Crafte of Nombrynge.
6. El triunfo de la base decimal
El sistema de notación posicional de base 10 se impuso finalmente sobre los anteriores sistemas debido a que los comerciantes europeos lo adoptaron. Es muy probable que los expertos árabe-indios de los despachos de las empresas navieras más importantes de Génova y Hamburgo encontrasen que podían hacer las cuentas más rápidamente que los colegas que se especializaban, por ejemplo, en los números romanos. En el entusiasmo de los hombres de negocios no participaron inicialmente los científicos y eruditos. Los círculos cultos continuaron apoyándose en el viejo sistema de base 60.
Nuestro propio sistema para designar las fracciones decimales -$0,23 para 23/100 de un dólar, ó 0,365 para el promedio de «battings» de un jugador de base-ball- hemos de agradecerlo a ciertos pensadores, tanto de Asia como de Europa. Uno de éstos fue al-Kashi, que en el siglo XV era director del Observatorio Astronómico de Samarcanda, fundado por Ulugh Beg, nieto de Tamerlán el Conquistador. Al-Kashi fue uno de los primeros matemáticos en darse cuenta que los exponentes podían utilizarse en el sistema de base 10 así como en el de base 60. Un alemán del siglo XVI, Cristoff Rudolff, elaboró una explicación aclaratoria más avanzada. Después un belga, Simon Stevin, presentó el primer tratamiento sistemático de las nuevas fracciones decimales en una obra orientadora denominada La Disme («El arte de los Dieces»). El punto decimal en la forma en que lo conocemos apareció por primera vez en 1617 en el libro de un escocés, John Napier.
Incluso hoy en día, con todos nuestros conocimientos, sería temerario pensar que ya hemos solucionado nuestro sistema de cálculo. Hay algunos ateos inconvertibles, que no son de carne y hueso: los «robots» o máquinas de cálculo. Estas criaturas del genio humano funcionan por medio de interruptores eléctricos que pueden estar o bien «cerrados» o «abiertos». Como resultado de esto sólo pueden contar dos números: «1 al estar abierto y 0 al estar cerrado». Por lo tanto, cada vez más el hombre moderno se apoya en un sistema de aritmética de base 2 o binario.
Irónicamente, en el momento en que oigamos el primer «Bip, bip-bip, bip-bip-bip» desde un planeta, puede que retrocedamos a la simplicidad de un aborigen, pero podremos añadir la comprensión de un Einstein.
Durante este período los persas gobernaban Mesopotamia, y el sistema 60 mostraba un considerable desarrollo sobre su forma original. La naturaleza prodigiosa de lo que se había logrado puede estimarse echando un vistazo a una secuencia de cifras del sistema 60 de sólo cuatro lugares. Si, por ejemplo, los persas deseaban expresar el número cinco millones once mil ciento sesenta y siete, lo hacían así: 23,11,59,27 que significa
23 x 603 + 11 x 602 + 59 x 601 + 27 x 600
(4.968.000 + 39.600 + 3.540 + 27 = 5.011.167).
El sistema 60 sobrevivió a los mesopotámicos quienes lo adoptaron debido a que su notación posicional continuó, durante siglos, siendo la única existente. Los astrónomos griegos lo utilizaron para registrar, en forma posicional, las fracciones que resultaban de la representación del firmamento. Los griegos y los hindúes también utilizaron el sistema 10, pero sólo para simples operaciones de contar. Las letras del alfabeto griego e hindú sirvieron de símbolos para los números decimales.(4.968.000 + 39.600 + 3.540 + 27 = 5.011.167).
Después, probablemente alrededor del año 500, algún hindú ideó una notación posicional para el sistema decimal. Los hindúes abandonaron los ya innecesarios símbolos escritos que habían utilizado para los números mayores de 9 y estandarizaron los símbolos de los nueve primeros. Aunque modernizados posteriormente, estos nueve símbolos constituyen lo que hoy conocemos por números del uno al nueve. El signo para el cero no se obtuvo hasta que se desarrolló la notación posicional.
El primer gran popularizador de esta notación fue un matemático árabe, al-Khowarizmi de Bagdad, quien alrededor del año 825 escribió un libro sobre los números indios en el que recomendaba la nueva técnica a los matemáticos y comerciantes del resto del mundo. Los nuevos números tardaron dos siglos en llegar a España, donde fueron reconstituidos en una escritura moderna reconocible a la que se conoce por guarismos de Ghobar, denominados así, según se cree, debido a la palabra árabe «polvo», o arena, ya que ocasionalmente se utilizaba una especie de caja de arena para contar. A finales del siglo XIII el gobierno de la ciudad de Florencia estaba dictando leyes contra el uso de los primeros guarismos decimales a fin de proteger a los honrados ciudadanos de las fáciles alteraciones, que los falsificadores de billetes de Banco, por ejemplo, podían realizar en los números 0, 6 y 9. Por la misma época la nueva técnica para escribir números llegó a Inglaterra con el Crafte of Nombrynge.
6. El triunfo de la base decimal
El sistema de notación posicional de base 10 se impuso finalmente sobre los anteriores sistemas debido a que los comerciantes europeos lo adoptaron. Es muy probable que los expertos árabe-indios de los despachos de las empresas navieras más importantes de Génova y Hamburgo encontrasen que podían hacer las cuentas más rápidamente que los colegas que se especializaban, por ejemplo, en los números romanos. En el entusiasmo de los hombres de negocios no participaron inicialmente los científicos y eruditos. Los círculos cultos continuaron apoyándose en el viejo sistema de base 60.
Nuestro propio sistema para designar las fracciones decimales -$0,23 para 23/100 de un dólar, ó 0,365 para el promedio de «battings» de un jugador de base-ball- hemos de agradecerlo a ciertos pensadores, tanto de Asia como de Europa. Uno de éstos fue al-Kashi, que en el siglo XV era director del Observatorio Astronómico de Samarcanda, fundado por Ulugh Beg, nieto de Tamerlán el Conquistador. Al-Kashi fue uno de los primeros matemáticos en darse cuenta que los exponentes podían utilizarse en el sistema de base 10 así como en el de base 60. Un alemán del siglo XVI, Cristoff Rudolff, elaboró una explicación aclaratoria más avanzada. Después un belga, Simon Stevin, presentó el primer tratamiento sistemático de las nuevas fracciones decimales en una obra orientadora denominada La Disme («El arte de los Dieces»). El punto decimal en la forma en que lo conocemos apareció por primera vez en 1617 en el libro de un escocés, John Napier.
Incluso hoy en día, con todos nuestros conocimientos, sería temerario pensar que ya hemos solucionado nuestro sistema de cálculo. Hay algunos ateos inconvertibles, que no son de carne y hueso: los «robots» o máquinas de cálculo. Estas criaturas del genio humano funcionan por medio de interruptores eléctricos que pueden estar o bien «cerrados» o «abiertos». Como resultado de esto sólo pueden contar dos números: «1 al estar abierto y 0 al estar cerrado». Por lo tanto, cada vez más el hombre moderno se apoya en un sistema de aritmética de base 2 o binario.
Irónicamente, en el momento en que oigamos el primer «Bip, bip-bip, bip-bip-bip» desde un planeta, puede que retrocedamos a la simplicidad de un aborigen, pero podremos añadir la comprensión de un Einstein.
Matemáticas David Bergamini Colección cientifica de Time-Life
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