La polarización del movimiento
Esta fotografía tomada a una gran velocidad, de un hombre haciendo girar garrotes indios, fue realizada por el profesor Harold Edgerton, del M.I.T. En forma análoga, el cálculo se utiliza para «aislar» movimientos complejos en el sentido matemático, y analizar un proceso cambiante fase por fase.
Aunque el proceso de cambio es inevitable y vital para comprender las leyes de la naturaleza, es difícil de analizar. Por ser continuo no ofrece ningún punto sencillo que la mente pueda aislar y controlar. Durante siglos desconcertó a los matemáticos. Algunos primeros pasos, ciertamente, se dieron hacia una matemática del movimiento. Los griegos lo hicieron así cuando se imaginaron las curvas como trazos realizados por puntos en movimiento, y cuando analizaron las líneas curvas, paso a paso, por medio de la técnica de dividirlas en segmentos infinitamente pequeños. Así lo hizo Descartes cuando pensó en los términos de una ecuación como funciones entre variables y, sobre todo, cuando facilitó una posibilidad para representar figuras gráficas de las situaciones y relaciones fluidas. Pero en su mayor parte el mundo de las matemáticas se pobló de figuras de cera, formas y números que permanecían absolutamente invariables.
Posteriormente, en 1665 y 1666, el incomparable Isaac Newton, de Inglaterra, realizó una prodigiosa creación mental, denominada en la actualidad cálculo, que, por primera vez, permitió el análisis matemático de todo movimiento y cambio. En el cálculo, Newton combinó la técnica de la división en partes pequeñas de los griegos y el sistema gráfico de Descartes para crear un maravilloso y automático instrumento mental con el fin de operar en una ecuación para llegar a los infinitésimos. El cálculo probó su efectividad tan rápidamente que en unos cuantos años su creador lo utilizó para establecer las leyes del movimiento y de la gravitación. Debido a su habilidad en probar los fugaces misterios del movimiento, el cálculo en la actualidad se ha convertido en el nexo principal entre la ciencia práctica y el conjunto de pensamientos matemáticos. Todo avión, todo aparato de televisión, todo puente, toda bomba, toda nave espacial le deben un poco de gratitud.
Las distintas clases de cambio que puede analizar el cálculo son tan diversas como el armario de una reina. Si los factores que comprenden cualquier situación fluida pudieran ponerse en términos de una ecuación, entonces el cálculo puede abarcarlos y descubrir las leyes a que obedecen. La variación en estudio puede ser tan dramática como la velocidad acumulada en un cohete dirigido al dejar su base o tan lenta como la pendiente variable de la carretera de una montaña. Puede ser tan visible como los kilos que se añaden a la que en un tiempo fue una esbelta cintura o tan invisible como los altibajos de la corriente en una línea de potencia.
Puede ser tan sonora como el crescendo de un concierto de Beethoven o tan silenciosa como la supuesta fuerza de la corriente del agua embalsada.
El cálculo analiza todas estas situaciones al invocar dos procesos matemáticos nuevos - son las primeras operaciones fundamentales que hay que añadir a las leyes de la adición, sustracción, multiplicación, división y extracción de raíces. Estas nuevas operaciones son denominadas diferenciación e integración, siendo ésta la inversa de aquélla, casi en la misma forma que la sustracción es la inversa de la suma o la división de la multiplicación. La diferenciación es una forma de calcular la tasa de variación de una variable en una situación en relación a otra en cualquier punto de un proceso.
El método actualmente empleado en la diferenciación es dividir una pequeña variación en una variable por una pequeña variación en otra; dejar que estos cambios vayan disminuyendo hasta acercarse a cero; después - y ésta es la clave - hallar el valor a que tiende la relación entre ellos a medida que las variaciones pasan a ser indefinidamente pequeñas. A este valor es a lo que los matemáticos llaman un «límite», y es la respuesta que buscan, el resultado final de la diferenciación, la tasa de variación en cualquier momento o punto. La integración opera al revés que la diferenciación; considera a una ecuación en términos de tasa de variación y la convierte en una ecuación en términos de las variables que hacen la variación.
Por medio de la diferenciación, un matemático puede profundizar en la situación de un fluido hasta que encuentre algún factor constante que refleje la acción de una ley constante de la naturaleza.
Posteriormente, en 1665 y 1666, el incomparable Isaac Newton, de Inglaterra, realizó una prodigiosa creación mental, denominada en la actualidad cálculo, que, por primera vez, permitió el análisis matemático de todo movimiento y cambio. En el cálculo, Newton combinó la técnica de la división en partes pequeñas de los griegos y el sistema gráfico de Descartes para crear un maravilloso y automático instrumento mental con el fin de operar en una ecuación para llegar a los infinitésimos. El cálculo probó su efectividad tan rápidamente que en unos cuantos años su creador lo utilizó para establecer las leyes del movimiento y de la gravitación. Debido a su habilidad en probar los fugaces misterios del movimiento, el cálculo en la actualidad se ha convertido en el nexo principal entre la ciencia práctica y el conjunto de pensamientos matemáticos. Todo avión, todo aparato de televisión, todo puente, toda bomba, toda nave espacial le deben un poco de gratitud.
Las distintas clases de cambio que puede analizar el cálculo son tan diversas como el armario de una reina. Si los factores que comprenden cualquier situación fluida pudieran ponerse en términos de una ecuación, entonces el cálculo puede abarcarlos y descubrir las leyes a que obedecen. La variación en estudio puede ser tan dramática como la velocidad acumulada en un cohete dirigido al dejar su base o tan lenta como la pendiente variable de la carretera de una montaña. Puede ser tan visible como los kilos que se añaden a la que en un tiempo fue una esbelta cintura o tan invisible como los altibajos de la corriente en una línea de potencia.
Puede ser tan sonora como el crescendo de un concierto de Beethoven o tan silenciosa como la supuesta fuerza de la corriente del agua embalsada.
El cálculo analiza todas estas situaciones al invocar dos procesos matemáticos nuevos - son las primeras operaciones fundamentales que hay que añadir a las leyes de la adición, sustracción, multiplicación, división y extracción de raíces. Estas nuevas operaciones son denominadas diferenciación e integración, siendo ésta la inversa de aquélla, casi en la misma forma que la sustracción es la inversa de la suma o la división de la multiplicación. La diferenciación es una forma de calcular la tasa de variación de una variable en una situación en relación a otra en cualquier punto de un proceso.
El método actualmente empleado en la diferenciación es dividir una pequeña variación en una variable por una pequeña variación en otra; dejar que estos cambios vayan disminuyendo hasta acercarse a cero; después - y ésta es la clave - hallar el valor a que tiende la relación entre ellos a medida que las variaciones pasan a ser indefinidamente pequeñas. A este valor es a lo que los matemáticos llaman un «límite», y es la respuesta que buscan, el resultado final de la diferenciación, la tasa de variación en cualquier momento o punto. La integración opera al revés que la diferenciación; considera a una ecuación en términos de tasa de variación y la convierte en una ecuación en términos de las variables que hacen la variación.
Por medio de la diferenciación, un matemático puede profundizar en la situación de un fluido hasta que encuentre algún factor constante que refleje la acción de una ley constante de la naturaleza.
En esta forma, Newton y teóricos posteriores, hicieron un descubrimiento que todavía no es fácil de comprender para los no versados. Este descubrimiento fue que el factor constante en muchos procesos de la naturaleza es la tasa en que varía la tasa de variación. El descifrar esta aparente redundancia puede parecer inútil.
Pero todo el que conduce está familiarizado con la tasa de variación de una tasa de variación. La velocidad del coche es una tasa de variación de la distancia con respecto al tiempo. Al acelerar o disminuir la velocidad, la propia velocidad del coche cambia, y varía en una proporción -aceleración o disminución - que constituye la tasa de variación de la tasa de variación. En la naturaleza, la gravedad actúa de forma tal que hace que un objeto que cae, se mueva en una tasa que aumenta en proporción constante. En los procesos que comprenden verdaderos movimientos físicos, Newton definió esta proporción de una tasa como aceleración. Y denominó a la gravedad que lo causaba una fuerza. Definió la fuerza en general como algo que hace acelerar a un objeto. Al aplicarse por medio del cálculo, esta definición -establecida hace tres siglos- ha permitido a los científicos el poder identificar las tres fuerzas fundamentales del cosmos: la fuerza de gravedad, la fuerza del magnetismo, o carga eléctrica, y la fuerza que une los núcleos atómicos.
En contraste con el papel espectacular que ha desempeñado el cálculo en descubrir los secretos del universo, la nomenclatura en torno a la diferenciación y la integración es tristemente prosaica. El cambio relativo de una y o x, hallada por la diferenciación, se llama una derivada -una derivada de y con respecto a x, que se escribe dy/dx, o de x con respecto a y, que se escribedx/dy. Lo opuesto a una derivada, hallada por medio de la integración, se denomina una integral y se simboliza por ∫, una S anticuada, que era una abreviación, originalmente, para la «suma» o «adición». Al efectuarse la integración en una ecuación escrita en términos de derivadas, convierte otra vez la ecuación en una en la que x e y se han despojado de sus disfraces de tasa de variación y han recobrado una apariencia algebraica normal.
En contraste con el papel espectacular que ha desempeñado el cálculo en descubrir los secretos del universo, la nomenclatura en torno a la diferenciación y la integración es tristemente prosaica. El cambio relativo de una y o x, hallada por la diferenciación, se llama una derivada -una derivada de y con respecto a x, que se escribe dy/dx, o de x con respecto a y, que se escribedx/dy. Lo opuesto a una derivada, hallada por medio de la integración, se denomina una integral y se simboliza por ∫, una S anticuada, que era una abreviación, originalmente, para la «suma» o «adición». Al efectuarse la integración en una ecuación escrita en términos de derivadas, convierte otra vez la ecuación en una en la que x e y se han despojado de sus disfraces de tasa de variación y han recobrado una apariencia algebraica normal.
2. Una definición para los que hacen régimen
Los resortes y jeroglíficos que acompañan a las técnicas del cálculo pueden parecer desquiciados, pero las ideas que hay detrás de ellos pueden reconocerse fácilmente. Por ser una tasa de variación, una derivada significa, simplemente, la velocidad de un proceso: tantas millas por hora o metros por segundo si se refiere a una variación de posición; tantas libras por semana si se refiere al éxito de un régimen; tantos genios por nacimiento si se refiere a las estadísticas del cociente de inteligencia. La integral correspondiente a cada una de estas derivadas serían los kilómetros recorridos, las libras perdidas o los genios que se han producido.
Cuando se la utiliza abstractamente en una ecuación, una derivada puede concebirse más rápidamente en términos de la curva que representa esta ecuación en un gráfico. En cualquier punto, la curva está creciendo o decreciendo en una tasa de tantas unidades de y por cada unidad de x. Esta pendiente hacia arriba o hacia abajo es exactamente el equivalente geométrico de la tasa de variación -la derivada- de y con respecto a x. Los ingenieros a menudo expresan la pendiente de una colina, la inclinación de un tejado o la verticalidad de la ascensión de un avión en términos idénticos: es decir, tanta altitud alcanzada por unidad de distancia horizontal atravesada. Pero en estas aplicaciones la pendiente se concibe como si se midiera en un tramo definido. Con el cálculo, la derivada se concibe como una pendiente instantánea en un punto aislado de la curva.
Que este concepto alusivo a la pendiente instantánea no es una ficción producto de la imaginación matemática puede verse en una granada de artillería a medida que describe un arco hacia el objetivo. En cualquier momento determinado la granada se mueve en una dirección definida. Esta dirección es una pendiente instantánea con respecto al suelo, una tasa de variación en la altitud de la granada con respecto a su posición horizontal. En términos gráficos, la velocidad de la granada moviéndose hacia arriba y hacia abajo, puede considerarse también como una pendiente instantánea en una curva.
Un matemático normalmente escribiría dicha derivada -la velocidad de ascenso o descenso, o la tasa de variación en distancia vertical - como dy/dt, en la que t representa el tiempo. Lo opuesto de una derivada, una integral, puede visualizarse también a través de un gráfico. Supóngase que y es igual a alguna expresión de x y que esta ecuación se representa como una curva. Entonces la integral de y es el área entre la curva y la línea horizontal, o eje, situada debajo de aquélla.
El porqué esto es así puede verse al imaginar que el área bajo la curva está cubierta por una valla de estacas con una parte superior ondulada. A medida que se construye la valla cada nueva estaca se suma al área de la valla.
Los resortes y jeroglíficos que acompañan a las técnicas del cálculo pueden parecer desquiciados, pero las ideas que hay detrás de ellos pueden reconocerse fácilmente. Por ser una tasa de variación, una derivada significa, simplemente, la velocidad de un proceso: tantas millas por hora o metros por segundo si se refiere a una variación de posición; tantas libras por semana si se refiere al éxito de un régimen; tantos genios por nacimiento si se refiere a las estadísticas del cociente de inteligencia. La integral correspondiente a cada una de estas derivadas serían los kilómetros recorridos, las libras perdidas o los genios que se han producido.
Cuando se la utiliza abstractamente en una ecuación, una derivada puede concebirse más rápidamente en términos de la curva que representa esta ecuación en un gráfico. En cualquier punto, la curva está creciendo o decreciendo en una tasa de tantas unidades de y por cada unidad de x. Esta pendiente hacia arriba o hacia abajo es exactamente el equivalente geométrico de la tasa de variación -la derivada- de y con respecto a x. Los ingenieros a menudo expresan la pendiente de una colina, la inclinación de un tejado o la verticalidad de la ascensión de un avión en términos idénticos: es decir, tanta altitud alcanzada por unidad de distancia horizontal atravesada. Pero en estas aplicaciones la pendiente se concibe como si se midiera en un tramo definido. Con el cálculo, la derivada se concibe como una pendiente instantánea en un punto aislado de la curva.
Que este concepto alusivo a la pendiente instantánea no es una ficción producto de la imaginación matemática puede verse en una granada de artillería a medida que describe un arco hacia el objetivo. En cualquier momento determinado la granada se mueve en una dirección definida. Esta dirección es una pendiente instantánea con respecto al suelo, una tasa de variación en la altitud de la granada con respecto a su posición horizontal. En términos gráficos, la velocidad de la granada moviéndose hacia arriba y hacia abajo, puede considerarse también como una pendiente instantánea en una curva.
Un matemático normalmente escribiría dicha derivada -la velocidad de ascenso o descenso, o la tasa de variación en distancia vertical - como dy/dt, en la que t representa el tiempo. Lo opuesto de una derivada, una integral, puede visualizarse también a través de un gráfico. Supóngase que y es igual a alguna expresión de x y que esta ecuación se representa como una curva. Entonces la integral de y es el área entre la curva y la línea horizontal, o eje, situada debajo de aquélla.
El porqué esto es así puede verse al imaginar que el área bajo la curva está cubierta por una valla de estacas con una parte superior ondulada. A medida que se construye la valla cada nueva estaca se suma al área de la valla.
De hecho, la altura de cada estaca añadida es una medida de la proporción en que crece el área de la valla; una estaca de 1,80 m., por ejemplo, añade un área doble que la de una estaca de 0,90 m. La integral de la tasa de variación, por lo tanto, debe ser el factor real en la situación que varía, es decir, el área de la propia valla. El equivalente geométrico de cada estaca es simplemente la altura de una curva - la vertical, u ordenada y de cada punto de una curva. La integración de y debe dar el área total bajo la curva.
Muchas de las aplicaciones más prácticas del cálculo derivan de la habilidad de la integración para sumar las estacas de longitud y, así como para la determinación de áreas. A través de ésta, un matemático puede determinar el volumen de todas las posibles formas irregulares, tales como el fuselaje de aviones, o tanques para el almacenamiento del aceite; también puede hallar las áreas de superficies curvilíneas - cantidad de plancha para la carrocería de un coche, o superficie de ascensión en las alas de un jet.
Existe una dificultad muy importante en el proceso de integración - una dificultad tan enorme y tan recurrente que la mayor parte de computadores de mayor tamaño en la actualidad han sido construidos especialmente para poder solucionarla -. Este es el problema de las llamadas «condiciones de los límites». Al medir el área de una valla de estacas, las condiciones de los límites se establecen por medio de las dos estacas que señalan los dos extremos de la valla. Pero no existen extremos para muchas de las curvas que representan ecuaciones. El área bajo este tipo de curva puede ser indefinidamente grande. Para limitarla, el matemático elige el equivalente a los postes extremos para señalar la parte determinada de área en la que está interesado. Entonces integra la ecuación representada por la curva entre estos dos vértices. A menudo el sistema adecuado para interpretar dicha ecuación no puede si no es integrándola y las condiciones de límites necesarias para integrarla no pueden hallarse a menos que se sepa cómo interpretarla. Para evitar este callejón sin salida, el científico, en efecto, escoge arbitrariamente lugares para las estacas y deja que un computador imprima docenas de laboriosas soluciones, que le dan una percepción de la naturaleza de la ecuación y del proceso de variación que simboliza.
Para elaborar las reglas del cálculo, Newton visualizó lo que sucedería si un punto en el gráfico de una curva se desplazara hacia un punto cercano.
A medida que empieza el desplazamiento, la pendiente media de la curva entre los dos puntos es el número de unidades de y que les separa verticalmente, dividido por el número de unidades de x que les separa horizontalmente. A medida que el desplazamiento prosigue, ambas distancias en esta fracción disminuyen hacia cero y desaparecen finalmente. Pero esto no quiere decir que la fracción en sí desaparezca. Una relación de 1:2, por ejemplo, no tiene por qué pasar repentinamente a ser cero sólo porque su numerador y denominador se hagan indefinidamente pequeños. La última vez que se supo de ellos, el numerador puede fuera una billonésima y el denominador 2 billonésimas, pero la relación entre ellos todavía continuaba siendo de 1 a 2.
Al hallar el valor a que tiende una fracción a medida que el numerador y el denominador tienden a cero, se le denomina hacer «el paso al límite». Si el numerador es igual a la mitad del denominador, el límite es un medio. Si el numerador es igual 10 veces el denominador, el límite es 10. A medida que se aproximan dos puntos de una curva, las distancias vertical y horizontal entre ellos guardan la misma proporción, por más pequeñas que se hicieran éstas, debido a la relación entre y y x expresada en la ecuación original de la curva. A medida que se aproximan, por lo tanto, la relación de sus distancias tiende hacia un límite definido que puede valorarse en términos de y y x.
Existe una dificultad muy importante en el proceso de integración - una dificultad tan enorme y tan recurrente que la mayor parte de computadores de mayor tamaño en la actualidad han sido construidos especialmente para poder solucionarla -. Este es el problema de las llamadas «condiciones de los límites». Al medir el área de una valla de estacas, las condiciones de los límites se establecen por medio de las dos estacas que señalan los dos extremos de la valla. Pero no existen extremos para muchas de las curvas que representan ecuaciones. El área bajo este tipo de curva puede ser indefinidamente grande. Para limitarla, el matemático elige el equivalente a los postes extremos para señalar la parte determinada de área en la que está interesado. Entonces integra la ecuación representada por la curva entre estos dos vértices. A menudo el sistema adecuado para interpretar dicha ecuación no puede si no es integrándola y las condiciones de límites necesarias para integrarla no pueden hallarse a menos que se sepa cómo interpretarla. Para evitar este callejón sin salida, el científico, en efecto, escoge arbitrariamente lugares para las estacas y deja que un computador imprima docenas de laboriosas soluciones, que le dan una percepción de la naturaleza de la ecuación y del proceso de variación que simboliza.
Para elaborar las reglas del cálculo, Newton visualizó lo que sucedería si un punto en el gráfico de una curva se desplazara hacia un punto cercano.
A medida que empieza el desplazamiento, la pendiente media de la curva entre los dos puntos es el número de unidades de y que les separa verticalmente, dividido por el número de unidades de x que les separa horizontalmente. A medida que el desplazamiento prosigue, ambas distancias en esta fracción disminuyen hacia cero y desaparecen finalmente. Pero esto no quiere decir que la fracción en sí desaparezca. Una relación de 1:2, por ejemplo, no tiene por qué pasar repentinamente a ser cero sólo porque su numerador y denominador se hagan indefinidamente pequeños. La última vez que se supo de ellos, el numerador puede fuera una billonésima y el denominador 2 billonésimas, pero la relación entre ellos todavía continuaba siendo de 1 a 2.
Al hallar el valor a que tiende una fracción a medida que el numerador y el denominador tienden a cero, se le denomina hacer «el paso al límite». Si el numerador es igual a la mitad del denominador, el límite es un medio. Si el numerador es igual 10 veces el denominador, el límite es 10. A medida que se aproximan dos puntos de una curva, las distancias vertical y horizontal entre ellos guardan la misma proporción, por más pequeñas que se hicieran éstas, debido a la relación entre y y x expresada en la ecuación original de la curva. A medida que se aproximan, por lo tanto, la relación de sus distancias tiende hacia un límite definido que puede valorarse en términos de y y x.
Este límite, 1/2 ó 10 o cualquiera que sea, es la pendiente de la curva en el lugar preciso en que ambos puntos coinciden -la tasa de variación de la y con respecto a la x, o dicho de otra forma, la derivada de y con respecto a x-. El sutil mecanismo de razonamiento que permitió a Newton diferenciar ecuaciones y hallar la derivada o valor del límite de la relación -expresado por dy/dx o dy/dt- es el proceso fundamental del cálculo. En forma sucinta puede expresarse así: en una situación en desarrollo, la diferencia entre el estado de cosas en un momento dado y el estado de cosas en el próximo momento es un índice de la tendencia de la situación; y si la relación de las variaciones netas que tienen lugar entre los dos momentos se valora por medio de un límite al que se llega cuando el intervalo entre los dos momentos se supone que tiende a cero, entonces este límite muestra con qué rapidez ocurren los cambios. La lógica del cálculo puede aplicarse a momentos del tiempo, puntos de una curva, temperatura de una situación de gas o en cualquier situación en general que puede relacionarse a través de ecuaciones.
3. El sencillo obsequio de Galileo
La forma en que operan estas reglas, y la justificación de su enorme utilidad, pueden ilustrarse mejor al aplicarlas a la sencilla y clásica ecuación
La forma en que operan estas reglas, y la justificación de su enorme utilidad, pueden ilustrarse mejor al aplicarlas a la sencilla y clásica ecuación
y = 16 t2
expresada en una forma mucho más sencilla por Galileo Galilei. Esta breve y modesta expresión es una de las más útiles en toda la física, debido a que muestra la forma en que actúa la gravedad sobre cualquier objeto que caiga libremente. Dado que todos los movimientos y cambios en la tierra están muy influenciados por la gravedad, la ecuación del libre descenso tiene indirectamente su importancia en innumerables acciones humanas, desde dar un paso o tirar una pelota de tenis a levantar una jácena o poner un astronauta en órbita.
Calcular el tiempo que emplea un objeto en caer desde una altura determinada es el método más directo para calcular los efectos de la gravedad. Fue esta técnica la que utilizó Galileo, alrededor del año 1585, para llegar a esta ecuación de la caída libre. Según la leyenda, Galileo dejó caer pequeñas balas de cañón desde las columnatas de la torre inclinada de Pisa. Según su propia descripción, utilizó los medios menos imaginativos para cronometrar unas bolas de bronce a medida que descendían por una rampa. Los experimentos de Galileo llevaron a la ecuación de la caída libre, y = 16 tz, en la que y representa la distancia recorrida y t el tiempo transcurrido en segundos después de la iniciación de la caída.
Al diferenciar esta ecuación dos veces -a fin de eliminar sucesivas manifestaciones de cambio e inconstancia- Newton descubrió la naturaleza esencial de la gravedad.
Calcular el tiempo que emplea un objeto en caer desde una altura determinada es el método más directo para calcular los efectos de la gravedad. Fue esta técnica la que utilizó Galileo, alrededor del año 1585, para llegar a esta ecuación de la caída libre. Según la leyenda, Galileo dejó caer pequeñas balas de cañón desde las columnatas de la torre inclinada de Pisa. Según su propia descripción, utilizó los medios menos imaginativos para cronometrar unas bolas de bronce a medida que descendían por una rampa. Los experimentos de Galileo llevaron a la ecuación de la caída libre, y = 16 tz, en la que y representa la distancia recorrida y t el tiempo transcurrido en segundos después de la iniciación de la caída.
Al diferenciar esta ecuación dos veces -a fin de eliminar sucesivas manifestaciones de cambio e inconstancia- Newton descubrió la naturaleza esencial de la gravedad.
Al diferenciar la ecuación una vez, halló que la velocidad con que cae un saltador en cualquier momento es igual a 9,6 multiplicado por el número de segundos que ha tardado en caer. Al diferenciar la ecuación por segunda vez, halló que la aceleración del saltador -la relación de aumento en su velocidad- es siempre 9,6 m. por segundo, cada segundo. El hecho de que en la ecuación de libre caída la aceleración sea igual a un número constante, 9,6, indica el final de la trayectoria. Este 9,6 no requiere que se diferencie más; no varía, y su proporción de variación es cero. Todo objeto que cae libremente cae a la tierra con una aceleración constante de 9,6 m por segundo, cada segundo.
Al comprobar este hecho por medio del cálculo, Newton fue capaz de fijar sus visiones matemáticas mucho más allá de la tierra y deducir la ley de la gravedad universal -uno de los resultados más importantes que jamás alcanzaran las matemáticas. Es la ley que rige el movimiento de todos los cuerpos celestes- desde los seres humanos en órbita a sistemas enteros de estrellas.
Al contemplar atemorizados lo que una pequeña deducción podía lograr en la mente de Isaac Newton, pensadores de épocas posteriores lo han considerado como el más grande de los físicos y uno de los más grandes matemáticos que jamás haya conocido el mundo. Albert Einstein escribió: «La naturaleza para él era un libro abierto cuyas letras podía leer sin esfuerzo». El propio Newton dijo: «No sé cómo puedo parecer al mundo; pero aparezco ante mis ojos como un muchacho jugando en la playa, y entreteniéndome con un guijarro más liso o una concha más bonita, mientras que el gran océano permanece por descubrir ante mí».
Newton empezó a utilizar su extraordinaria inventiva mientras que todavía era un chiquillo, para hacerse juguetes, incluyendo una clepsidra de madera que, de hecho, registraba el tiempo, y un molino de harina movido por una rata. No obstante, su brillantez no brotó hasta que leyó a Euclides a la tardía edad de 19 años. Dice la historia que se precipitó con impaciencia sobre la relativamente abstrusa Géométrie de Descartes. A partir de entonces su progreso fue meteórico. Cinco años después, había elaborado ya las operaciones básicas del cálculo - las reglas de integración y diferenciación, que denominó las leyes del «cálculo diferencial».
Newton reunió su gran invento y lo aplicó en una forma preliminar a los problemas del movimiento y de la gravitación en un esfuerzo supremo de creatividad durante dos años, que vivió en el campo durante la epidemia de peste que asoló a Inglaterra en 1665 y 1666. En retrospectiva parece como si todo el marco de la ciencia moderna surgiera de su mente tan milagrosamente como un genio de los cuentos árabes de dentro de una botella. Pero como el propio Newton dijo, «él estaba colocado sobre los hombros de gigantes». Muchos hombres se han debatido con los mismos problemas; fue su genio quien fundiera sus inspiraciones separadas. Los procesos gemelos de la diferenciación e integración en el cálculo, por ejemplo, fueron arraigados en dos preguntas clásicas de la antigüedad griega: cómo construir una tangente y cómo calcular un área que está rodeada en uno de sus lados por una curva. El problema de la tangente o línea de «contacto» era equivalente al problema de hallar la pendiente de una curva en cualquier punto y, por lo tanto, al de hallar la derivada de una ecuación. El problema del área era equivalente al problema de integrar la ecuación que da la tasa de crecimiento de un área.
Al comprobar este hecho por medio del cálculo, Newton fue capaz de fijar sus visiones matemáticas mucho más allá de la tierra y deducir la ley de la gravedad universal -uno de los resultados más importantes que jamás alcanzaran las matemáticas. Es la ley que rige el movimiento de todos los cuerpos celestes- desde los seres humanos en órbita a sistemas enteros de estrellas.
Al contemplar atemorizados lo que una pequeña deducción podía lograr en la mente de Isaac Newton, pensadores de épocas posteriores lo han considerado como el más grande de los físicos y uno de los más grandes matemáticos que jamás haya conocido el mundo. Albert Einstein escribió: «La naturaleza para él era un libro abierto cuyas letras podía leer sin esfuerzo». El propio Newton dijo: «No sé cómo puedo parecer al mundo; pero aparezco ante mis ojos como un muchacho jugando en la playa, y entreteniéndome con un guijarro más liso o una concha más bonita, mientras que el gran océano permanece por descubrir ante mí».
Newton empezó a utilizar su extraordinaria inventiva mientras que todavía era un chiquillo, para hacerse juguetes, incluyendo una clepsidra de madera que, de hecho, registraba el tiempo, y un molino de harina movido por una rata. No obstante, su brillantez no brotó hasta que leyó a Euclides a la tardía edad de 19 años. Dice la historia que se precipitó con impaciencia sobre la relativamente abstrusa Géométrie de Descartes. A partir de entonces su progreso fue meteórico. Cinco años después, había elaborado ya las operaciones básicas del cálculo - las reglas de integración y diferenciación, que denominó las leyes del «cálculo diferencial».
Newton reunió su gran invento y lo aplicó en una forma preliminar a los problemas del movimiento y de la gravitación en un esfuerzo supremo de creatividad durante dos años, que vivió en el campo durante la epidemia de peste que asoló a Inglaterra en 1665 y 1666. En retrospectiva parece como si todo el marco de la ciencia moderna surgiera de su mente tan milagrosamente como un genio de los cuentos árabes de dentro de una botella. Pero como el propio Newton dijo, «él estaba colocado sobre los hombros de gigantes». Muchos hombres se han debatido con los mismos problemas; fue su genio quien fundiera sus inspiraciones separadas. Los procesos gemelos de la diferenciación e integración en el cálculo, por ejemplo, fueron arraigados en dos preguntas clásicas de la antigüedad griega: cómo construir una tangente y cómo calcular un área que está rodeada en uno de sus lados por una curva. El problema de la tangente o línea de «contacto» era equivalente al problema de hallar la pendiente de una curva en cualquier punto y, por lo tanto, al de hallar la derivada de una ecuación. El problema del área era equivalente al problema de integrar la ecuación que da la tasa de crecimiento de un área.
Matemáticas David Bergamini Colección cientifica de Time-Life
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