¿Es Dios un Matemático? Mario Livio 2009 I.-Un misterio

Hace unos años, durante una charla que daba en la Universidad de Cornell, una de mis diapositivas de PowerPoint, decía: «¿Es Dios un matemático?». Nada más aparecer, uno de los estudiantes de las primeras filas exclamó: «¡Por Dios, espero que no!». Mi pregunta retórica no era un intento filosófico de definir «Dios» a mi público, ni una confabulación para intimidar a los matemafóbicos. En realidad sólo estaba presentando un misterio que ha tenido en vilo a las mentes más originales durante siglos: la aparente omnipresencia y omnipotencia de la matemática. Este tipo de características suelen asociarse con los entes divinos. Como decía el físico británico James Jeans[1] (1877-1946): «El universo parece haber sido diseñado por un matemático puro». La matemática parece ser excepcionalmente eficaz para describir y explicar, no sólo el Cosmos en su conjunto, sino incluso algunas de las iniciativas más caóticas del hombre. Ya se trate de físicos que intentan formular teorías sobre el universo, analistas de bolsa que se devanan los sesos para predecir cuándo volverá a caer el mercado, neurobiólogos que construyen modelos de las funciones cerebrales o estadísticos militares que optimizan la asignación de recursos, todos ellos utilizan la matemática. Es más, incluso cuando aplican formalismos desarrollados en ramas distintas de la matemática, todos hacen referencia a la misma matemática, global y coherente. ¿Qué es lo que otorga a la matemática tan extraordinario poder? O, como Einstein se preguntaba:^[2] «¿Cómo es posible que la matemática, un producto del pensamiento humano independiente de la experiencia se ajuste de modo tan perfecto a los objetos de la realidad física?». (La cursiva es mía).

Esta sensación de extrema perplejidad no es nueva. Algunos filósofos de la antigua Grecia, especialmente Pitágoras y Platón, quedaron sobrecogidos por la aparente capacidad de la matemática para dar forma y guía al universo y al mismo tiempo existir, al parecer, más allá de la capacidad humana de alterarlo, dirigirlo e influir sobre él. El filósofo político inglés Thomas Hobbes (1588-1679) no pudo tampoco ocultar la admiración que sentía. En Leviatán, la impresionante exposición de Hobbes sobre los fundamentos de la sociedad y del gobierno, señaló a la geometría como paradigma^[3] de la argumentación racional:

Si advertimos, pues, que la verdad consiste en la correcta ordenación de los nombres en nuestras afirmaciones, un hombre que busca la verdad precisa tiene necesidad de recordar lo que significa cada uno de los nombres usados por él, y colocarlos adecuadamente; de lo contrario, se encontrará él mismo envuelto en palabras, como un pájaro en el lazo; y cuanto más se debata tanto más apurado se verá. Por esto en la Geometría (única ciencia que Dios se complació en comunicar al género humano) comienzan los hombres por establecer el significado de sus palabras; esta fijación de significados se denomina definición, y se coloca en el comienzo de todas sus investigaciones.

Milenios de admirables investigaciones matemáticas y eruditas especulaciones filosóficas apenas han servido para desentrañar el enigma del poder de la matemática. De hecho, la magnitud del misterio incluso ha crecido. El célebre físico matemático de Oxford Roger Penrose, por ejemplo, percibe en la actualidad no un simple misterio, sino tres. Penrose identifica tres «mundos» distintos:^[4] el mundo de nuestra percepción consciente, el mundo físico y el mundo platónico de las formas matemáticas. El primero de los mundos alberga nuestras imágenes mentales: cómo percibimos los rostros de nuestros hijos, cómo disfrutamos de una espléndida puesta de sol o cómo reaccionamos a las terroríficas imágenes de la guerra. Es también el mundo que contiene el amor, los celos y los prejuicios, así como nuestra percepción de la música, de los olores de la comida o del miedo. El segundo mundo es aquel al que solemos llamar realidad física. En él residen las flores, los dinosaurios, las nubes blancas y los aviones de reacción, y también las galaxias, los planetas, los átomos, los corazones de los babuinos y los cerebros humanos. El mundo platónico de las formas matemáticas, que para Penrose posee una calidad real comparable a los mundos físico y mental, es la patria de la matemática. En él podrá encontrar los números naturales 1, 2, 3, 4… las formas y teoremas de la geometría de Euclides, las leyes del movimiento de Newton, la teoría de cuerdas, la teoría de catástrofes y los modelos matemáticos del comportamiento del mercado de valores. Y ahora vienen, según Penrose, los tres misterios. En primer lugar, el mundo de la realidad física parece obedecer leyes que en realidad residen en el mundo de las formas matemáticas. Este era el enigma que dejaba perplejo a Einstein e igualmente atónito al premio Nobel Eugene Wigner^[5] (1902-1995):

El milagro de la articulación entre el lenguaje, la matemática y la formulación de las leyes de la física es un obsequio maravilloso que no comprendemos ni merecemos. Deberíamos estar agradecidos por ello y esperar que siga siendo válido en ulteriores investigaciones y que se extienda, para bien o para mal, para nuestro placer o incluso para nuestro desconcierto, a otras ramas del conocimiento.

En segundo lugar, las propias mentes que perciben —el reino de nuestra percepción consciente— se las han arreglado para surgir del mundo físico. Literalmente, ¿cómo ha podido la mente nacer de la materia? ¿Seremos algún día capaces de formular una teoría del funcionamiento de la conciencia que sea tan coherente y convincente como, por ejemplo, la actual teoría del electromagnetismo? Finalmente, el círculo se cierra misteriosamente. Por medio de algún milagro, esas mismas mentes han sido capaces de acceder al mundo matemático al descubrir, o crear, y dar articulación a un capital de formas y conceptos matemáticos.

Penrose no ofrece explicación alguna a ninguno de los tres «misterios», sino que concluye, de forma lacónica: «No cabe duda de que en realidad no hay tres mundos sino uno solo, cuya verdadera naturaleza actualmente somos incapaces siquiera de entrever». Es un reconocimiento mucho más humilde que la respuesta del profesor de la obra Forty Years On, del autor inglés Alan Bennett, a una pregunta similar:

Foster: La trinidad sigue pareciéndome confusa, señor.

Profesor: Tres en uno, uno en tres; está meridianamente claro. Si tienes alguna duda, consulta con tu profesor de matemáticas.

El enigma es aún más intrincado de lo que he sugerido hasta ahora. En realidad, el éxito de la matemática en dar explicación al mundo que nos rodea (un éxito al que Wigner denominaba «la irrazonable eficacia de la matemática») tiene dos caras, cada una más asombrosa que la otra. En primer lugar tenemos el aspecto, digamos, «activo». Cuando los físicos deambulan por el laberinto de la naturaleza, utilizan la matemática para iluminar su camino: las herramientas que emplean y desarrollan, los modelos que construyen y las explicaciones que conjuran son de naturaleza matemática. Aparentemente, esto es un milagro por sí mismo. Newton observó la caída de una manzana, la luna y las mareas en las playas (aunque de esto último no estoy muy seguro), y no ecuaciones matemáticas. Sin embargo, de algún modo fue capaz de extraer de estos fenómenos naturales una serie de leyes matemáticas de la naturaleza clara, concisa y de increíble precisión. De igual modo, James Clerk Maxwell (1831-1879) amplió el campo de la física clásica para incluir la totalidad de los fenómenos eléctricos y magnéticos conocidos en la década de 1860, y lo hizo con tan sólo cuatro ecuaciones matemáticas. Reflexionen un momento sobre ello. La explicación de una serie de resultados experimentales sobre luz y electromagnetismo, cuya descripción había ocupado volúmenes enteros, se redujo a cuatro sucintas ecuaciones. La relatividad general de Einstein es aún más extraordinaria: se trata de un ejemplo perfecto de teoría matemática coherente y de fantástica precisión que describe algo tan fundamental como la estructura del espacio y del tiempo.

Pero también hay un aspecto «pasivo» de la misteriosa eficacia de la matemática, tan sorprendente que, a su lado, el aspecto «activo» palidece en comparación. ¡Los conceptos y las relaciones que los matemáticos exploran únicamente por razones «puras» (sin pensar en absoluto en su aplicación) décadas (e incluso siglos) después acaban siendo las inesperadas soluciones de problemas firmemente enraizados en la realidad física! ¿Cómo es posible? Tomemos, por ejemplo, el divertido caso del excéntrico matemático británico Godfrey Harold Hardy (1877-1947). Hardy estaba tan orgulloso de que su trabajo consistiese exclusivamente en matemática pura que solía declarar con energía:^[6] «Ninguno de mis descubrimientos ha supuesto, o es probable que suponga, de forma directa o indirecta, para bien o para mal, diferencia alguna en el funcionamiento del mundo». Lo han adivinado: se equivocaba. Uno de sus trabajos, redivivo^[7] en forma de ley de Hardy-Weinberg (así llamada por Hardy y el médico alemán Wilhelm Weinberg [1862-1937]), es un principio fundamental que los genetistas utilizan en el estudio de la evolución de las poblaciones. En términos sencillos, la ley de Hardy-Weinberg afirma que, si una gran población se aparea de forma totalmente aleatoria (y no sufre los efectos de mutaciones, migraciones o selecciones), la constitución genética permanece constante de una generación a la siguiente.

Incluso el aparentemente abstracto trabajo de Hardy en teoría de números —el estudio de las propiedades de los números naturales— ha hallado aplicaciones inesperadas. En 1973, el matemático británico Clifford Cocks^[8] empeló la teoría de números para crear un avance decisivo en criptografía: el desarrollo de los códigos. El descubrimiento de Cocks convirtió en obsoleta otra de las afirmaciones de Hardy. En su famoso libro A Mathematician's Apology, editado en 1940, Hardy declaraba: «Nadie ha descubierto aún ninguna finalidad bélica para la teoría de números». Está claro que Hardy se equivocaba de nuevo. Los códigos se han convertido en algo absolutamente esencial para las comunicaciones militares. Así, incluso Hardy, uno de los más feroces críticos de la matemática aplicada, acabó desarrollando sin querer (y probablemente protestando a gritos, si hubiese estado vivo) teorías matemáticas útiles.

Pero esto no es más que la punta del iceberg. Kepler y Newton descubrieron que los planetas de nuestro sistema solar siguen órbitas en forma de elipse, las mismas curvas que, dos mil años antes, estudió el matemático griego Menechmo (fl. ca. 350 a.C.). Las nuevas geometrías sugeridas por Georg Friedrich Riemann (1826-1866) en una conferencia clásica en 1854 resultaron ser exactamente las herramientas que Einstein necesitaba para explicar el tejido del cosmos. Un «lenguaje» matemático (la llamada teoría de grupos) que desarrolló el joven genio Evariste Galois (1811-1832) con el único objetivo de determinar la solubilidad de las ecuaciones algebraicas se ha convertido en nuestros días en el idioma que los físicos, ingenieros, lingüistas e incluso antropólogos utilizan para describir las simetrías del mundo.^[9] Es más, en cierto modo, el concepto de patrón de simetría matemático ha revolucionado el mismo proceso de la ciencia.

Durante siglos, el camino para comprender el funcionamiento del cosmos empezaba por un conjunto de hechos experimentales u observables a partir de los cuales, por ensayo y error, los científicos intentaban formular leyes generales de la naturaleza. Se trataba de empezar por observaciones locales y, a partir de ellas, armar el rompecabezas pieza a pieza. En el siglo XX, al descubrir que en la estructura del mundo subatómico subyacen esquemas matemáticos bien definidos, los físicos modernos empezaron a actuar justamente al revés. Empiezan por los principios matemáticos de simetría, exigen que las leyes de la naturaleza y, por supuesto, los bloques básicos que constituyen la materia sigan determinados patrones y, a partir de estos requisitos, deducen las leyes generales. ¿Cómo sabe la naturaleza que debe obedecer a estas simetrías matemáticas abstractas?

En 1975 Mitch Feigenbaum, un joven físico matemático del Laboratorio Nacional de Los Alamos, jugaba con su calculadora de bolsillo HP-65 examinando el comportamiento de una ecuación sencilla. Se dio cuenta de que una serie de números^[10] que aparecía en los cálculos se acercaba cada vez más a un número determinado: 4,669… Al examinar otras ecuaciones, para su asombro, vio que el mismo curioso número volvía a aparecer. Feigenbaum llegó a la conclusión de que su descubrimiento representaba al universal, que en cierto modo marcaba la transición entre orden y caos, a pesar de que no sabía explicar por qué. Como es lógico, al principio los físicos se lo tomaron con escepticismo. Después de todo, ¿por qué iba un mismo número a caracterizar el comportamiento de sistemas que, en principio, parecían completamente distintos? Tras seis meses de evaluación profesional, el primer artículo de Feigenbaum sobre el particular fue rechazado. Sin embargo, poco después, los resultados experimentales mostraron que, al calentar helio líquido desde debajo, su comportamiento era exactamente el predicho por la solución universal de Feigenbaum. Y no se trataba del único sistema en comportarse así. El sorprendente número de Feigenbaum aparecía en la transición del flujo ordenado de un fluido al flujo turbulento, e incluso en el comportamiento del agua que gotea en un grifo.

La lista de «previsiones» similares hechas por matemáticos de las necesidades de diversas disciplinas en generaciones posteriores es inagotable. Uno de los ejemplos más insólitos de la misteriosa e inesperada interacción entre la matemática y el mundo real (físico) lo ofrece la historia de la teoría de nudos, el estudio matemático de los nudos. Un nudo matemático se parece a un nudo normal en una cuerda, pero con los extremos de la cuerda empalmados. Es decir, un nudo matemático es una curva cerrada sin cabos sueltos. Curiosamente, el impulso inicial de la teoría de nudos matemáticos procede de un modelo incorrecto del átomo que se desarrolló en el siglo XIX. Cuando se abandonó ese modelo —tan solo dos décadas después de su creación—, la teoría de nudos siguió evolucionando como una recóndita rama de la matemática pura. Increíblemente, esta abstracta empresa encontró de pronto numerosas aplicaciones modernas en cuestiones que van desde la estructura molecular del ADN a la teoría de cuerdas (el intento de unificar el mundo subatómico con la gravedad). Volveré a hablar de esta notable historia en el capítulo 8, ya que su circularidad es quizá la mejor prueba del modo en que una rama de la matemática puede surgir del intento de explicar la realidad física, y cómo esta rama deambula en el reino abstracto de la matemática para, finalmente, volver de forma inesperada a sus orígenes.

 ¿Descubierta o inventada?

Basta la somera descripción que he presentado hasta ahora para ofrecer pruebas concluyentes de que el universo está gobernado por la matemática o, como mínimo, es susceptible de ser analizado a través de ella. Como se mostrará en este libro, la práctica totalidad de las iniciativas humanas, si no todas, parecen emerger también de una subestructura matemática, incluso en las situaciones más inesperadas. Vamos a examinar, por ejemplo, un caso del mundo de las finanzas, la fórmula Black-Scholes (1973) para el precio de las opciones.^[11] El modelo Black-Scholes supuso para sus creadores (Myron Scholes y Robert Carhart Merton; Fischer Black falleció antes de la concesión del premio) el premio Nobel de Economía.

La ecuación principal del modelo permite comprender la asignación de precios de las opciones (las opciones son instrumentos financieros que permiten a los inversores comprar o vender acciones en un momento del futuro, a precios previamente acordados). Pero he aquí un hecho sorprendente: en el núcleo de este modelo reside un fenómeno que los físicos habían estudiado durante décadas: el movimiento browniano, el estado de agitación que muestran las partículas muy pequeñas, como el polen suspendido en el agua o las partículas de humo en el aire. Por si esto fuera poco, esa misma ecuación se aplica también a los movimientos de centenares de miles de estrellas en cúmulos estelares, e incluso a las partículas subatómicas observadas en un detector. ¿No es, como diría la protagonista de Alicia en el país de las maravillas, «curiorífico y curiorífico»? Después de todo, haga lo que haga el cosmos, es innegable que los negocios y las finanzas son mundos creados por la mente humana.

Vamos a fijarnos en un problema habitual de los fabricantes de circuitos electrónicos y de los diseñadores de ordenadores. Estos profesionales utilizan taladros láser para practicar decenas de miles de pequeños orificios en sus placas. Para minimizar costes, los diseñadores no quieren que su taladro se comporte como si fuese un «turista accidental»; el problema consiste en hallar el «tour» más corto entre orificios que pase una sola vez por cada uno de ellos. Pues bien, resulta que los matemáticos llevan investigando este mismo problema, denominado problema del viajante, desde los años veinte del pasado siglo. En esencia, si un viajante comercial o un político en campaña tiene que pasar por un número determinado de ciudades y se conoce el coste del viaje entre cada par de ciudades, el viajante debe averiguar de algún modo cuál es la forma más barata de visitar todas las ciudades y regresar al punto de partida. El problema del viajante se resolvió^[12] para 49 ciudades de Estados Unidos en 1954. En 2004 se resolvió para 24.978 ciudades en Suecia. En otras palabras, la industria de la electrónica, las empresas de paquetería que calculan las rutas de sus camiones o incluso los fabricantes japoneses de máquinas de pachinko (que tienen que clavar millares de clavos en los tableros de este juego similar al pinball) deben apoyarse en la matemática para tareas simples como taladrar, planificar trayectos y crear el diseño físico de los ordenadores.

La matemática ha hecho acto de presencia incluso en campos que tradicionalmente no se han relacionado con las ciencias exactas. Por ejemplo, la revista Journal of Mathematical Sociology, que llegó en 2006 a su volumen número 30, está dedicada a la comprensión matemática de estructuras sociales complejas, organizaciones y grupos informales. Los temas de los artículos de la revista van desde modelos matemáticos para la predicción de la opinión pública hasta las interacciones dentro de grupos sociales.

En la dirección contraria —de las matemáticas a las humanidades—, el campo de la lingüística computacional, que al principio sólo incumbía a científicos relacionados con la informática, se ha convertido ahora en una tarea de investigación interdisciplinaria que reúne a lingüistas, psicólogos cognitivos, lógicos y expertos en inteligencia artificial para el estudio de la complejidad de los lenguajes evolucionados de forma natural.

Parece como si, cada uno de los esfuerzos de las personas por comprender acabase por sacar a la luz los aspectos cada vez más sutiles de la matemática sobre los que se ha creado el universo y nosotros mismos, como entes complejos. ¿Qué broma es ésta? ¿Es realmente la matemática, como les gusta decir a los educadores, el libro de texto oculto que el profesor utiliza para parecer más listo que nadie mientras ofrece a sus alumnos una versión simplificada? O, utilizando una metáfora bíblica, ¿se trata, en cierto sentido, del fruto definitivo del «árbol de la ciencia»?

Como apunté al principio de este capítulo, la eficacia de la matemática más allá de lo razonable hace surgir numerosos y fascinantes enigmas: ¿existe la matemática de forma independiente de la mente humana? Dicho de otro modo, ¿estamos simplemente descubriendo las verdades matemáticas, igual que los astrónomos descubren galaxias desconocidas hasta el momento? ¿O quizá la matemática es sólo una invención humana? Si realmente la matemática existe en algún abstracto país de nunca jamás, ¿cuál es la relación entre este mundo místico y la realidad física? ¿Cómo es capaz el cerebro humano, con sus limitaciones, de acceder a este mundo inmutable, más allá del espacio y del tiempo? Por otro lado, si la matemática no es más que una invención del hombre que no existe fuera de nuestras mentes, ¿cómo podemos explicar el hecho de que la invención de tantas verdades matemáticas se adelantó de forma milagrosa a cuestiones acerca del cosmos y de la vida humana que ni siquiera se plantearon hasta siglos más tarde? Estas preguntas no son fáciles de responder. Como se mostrará ampliamente en este libro, ni siquiera los matemáticos, científicos del conocimiento y filósofos modernos se han puesto de acuerdo en las respuestas. En 1989, el matemático francés Alain Connes, ganador de dos de los premios con más prestigio de la matemática, la medalla Fields (1982) y el premio Crafoord (2001) expresó su punto de vista con claridad:^[13]

Tomemos, por ejemplo, los números primos [aquellos que sólo son divisibles por sí mismos y por la unidad] que, por lo que a mí respecta, constituyen una realidad más estable que la realidad material que nos rodea. El matemático de profesión se puede comparar con un explorador que se pone en marcha para descubrir el mundo. A partir de la experiencia se pueden descubrir hechos básicos. Por ejemplo, basta con unos sencillos cálculos para darse cuenta de que la serie de números primos parece no tener fin. El trabajo del matemático es entonces demostrar que, efectivamente, hay una infinidad de números primos. Este es un resultado antiguo, como sabemos, y se lo debemos a Euclides. Una de las consecuencias más interesantes de esta demostración es que, si alguien afirma un día que ha descubierto el mayor número primo que existe, será fácil demostrar que se equivoca. Esto mismo es válido para cualquier demostración. Nos enfrentamos pues a una realidad estrictamente igual de incontestable que la realidad física. (Las cursivas son mías).

El famoso autor de libros de matemática recreativa Martin Gardner se alinea también con la idea de la matemática como descubrimiento. Para él, no cabe duda de que los números y la matemática tienen una existencia propia, independientemente de que los hombres sepan de ella. Según su propia e ingeniosa afirmación:^[14] «Si dos dinosaurios se uniesen a otros dos dinosaurios en un claro, habría cuatro dinosaurios, aunque no hubiese ningún humano allí para observarlo y las bestias fuesen demasiado estúpidas para saberlo». Tal como resaltaba Connes, los partidarios de la perspectiva de «matemática como descubrimiento» (que, como veremos, se ajusta al punto de vista platónico) señalan que, una vez que se comprende determinado concepto matemático, como los números naturales 1, 2, 3, 4, … nos enfrentamos a una serie de hechos innegables, como 3² + 4² = 5² independientemente de lo que opinemos al respecto. La impresión es que estamos en contacto con una realidad preexistente.

Otras personas no están de acuerdo. En la crítica de un libro ^[15] en el que Connes presentaba sus ideas, el matemático británico Michael Atiyah (ganador de la medalla Fields en 1966 y del premio Abel en 2004) señalaba:

Cualquier matemático no puede menos que simpatizar con Connes. Todos tenemos la sensación de que los números enteros, o los círculos, existen realmente en algún sentido abstracto, y el punto de vista platónico (que se describirá en detalle en el capítulo 2) es terriblemente seductor. Pero ¿podemos realmente defenderlo? Si el universo fuese unidimensional, o incluso discreto, parece difícil concebir cómo podría haber evolucionado la geometría. Parece que con los números enteros el terreno en el que pisamos es más sólido, que contar es un concepto realmente primordial. Pero imaginemos que la inteligencia no se hubiese desarrollado en el hombre, sino en una especie de medusa colosal, solitaria y aislada en los abismos del océano Pacífico. Este ente no tendría experiencia alguna de los objetos individuales, ya que sólo estaría rodeado de agua. Sus datos sensoriales se reducirían a movimiento, temperatura y presión. En este continuo puro, el concepto de discreto no podría surgir ni, por consiguiente, habría nada que contar.

Atiyah, por lo tanto, cree que «el Hombre ha creado la matemática mediante la idealización y abstracción de elementos del mundo físico». El lingüista George Lakoff y el psicólogo Rafael Núñez piensan lo mismo. En su libro Where Mathematics Comes From, su conclusión es que «la matemática es una parte natural de la condición humana. Surge de nuestros cuerpos, nuestros cerebros y nuestra experiencia cotidiana del mundo». (La cursiva es mía).

El punto de vista de Atiyah, Lakoff y Núñez suscita otra interesante pregunta. Si la matemática es por completo una invención del hombre, ¿es realmente universal? En otras palabras, si existen civilizaciones extraterrestres, ¿inventarían la misma matemática? Carl Sagan (1934-1996) pensaba que la respuesta a esta pregunta era afirmativa. En su libro Cosmos, al comentar qué tipo de señales transmitiría al espacio una civilización inteligente, decía: «Es muy improbable que cualquier proceso físico natural pueda transmitir mensajes de radio que sólo contengan números primos. Si recibiéramos un mensaje de este tipo deduciríamos que allí fuera hay una civilización que por lo menos se entusiasma con los números primos». Pero ¿cuál es la certeza de esta afirmación? En su reciente libro A New Kind of Science, el físico matemático Stephen Wolfram sostiene que lo que llamamos «nuestra matemática» puede representar una única posibilidad dentro de una amplia variedad de posibles «sabores» de la matemática. Por ejemplo, en lugar de utilizar reglas basadas en ecuaciones matemáticas para describir la naturaleza, podríamos utilizar tipos distintos de reglas en forma de programas de ordenador simples. Es más, algunos cosmólogos han comentado recientemente la posibilidad de que nuestro universo no sea más que uno de los miembros de un multiverso, un inmenso conjunto de universos. Si ese multiverso existe realmente, ¿acaso esperamos que la matemática sea la misma en los otros universos?

Los biólogos moleculares y los científicos cognitivos traen su propia perspectiva a la palestra a partir de los estudios de las facultades del cerebro. Para algunos de estos investigadores, la matemática no difiere en realidad demasiado del lenguaje. En otras palabras, en este escenario «cognitivo», después de eones de observar dos manos, dos ojos y dos pechos, ha surgido una definición abstracta del número 2, de un modo similar a como la palabra «ave» ha llegado a representar a numerosos animales de dos alas que vuelan. Como dice el neurocientífico francés Jean-Pierre Changeux:^[16] «Para mí, el método axiomático [que se utiliza, por ejemplo, en geometría euclidiana] es la expresión de la conexión de las facultades cerebrales con el uso del cerebro humano, ya que aquello que caracteriza al lenguaje es precisamente su carácter generativo». Pero, si la matemática no es más que otro lenguaje, ¿cómo se explica el hecho de que numerosos niños encuentren dificultades en su estudio, a pesar de la facilidad de los niños para el estudio de idiomas? La niña prodigio escocesa Marjory Fleming (1803-1811) describió de una forma muy graciosa el tipo de dificultades que los estudiantes sufren con las matemáticas. Fleming, que no llegó a ver su noveno cumpleaños, dejó escritos diarios con más de 9.000 palabras en prosa y 500 líneas en verso. En cierto momento se queja: «Ahora les voy a hablar de los horribles y condenados apuros que me dan las tablas de multiplicar; ni se lo imaginan. Lo más infernal del mundo es siete por siete y ocho por ocho; ni la misma naturaleza es capaz de soportar eso».^[17]

Algunos de los elementos de las complejas cuestiones que he planteado se pueden reformular: ¿hay alguna diferencia fundamental entre la matemática y otras formas de expresión de la mente humana, como las artes visuales o la música? Si no es así, ¿por qué la matemática está dotada de una impresionante coherencia y regularidad que no parece existir en ninguna otra creación humana? Por ejemplo, la geometría de Euclides es igual de correcta en nuestros días (dentro de su campo de aplicación) como lo era en el año 300 a.C.; representa «verdades» que son obligatorias. En cambio, no sentimos obligación alguna de escuchar la misma música que escuchaban los antiguos griegos, ni de estar de acuerdo con el ingenuo modelo cósmico de Aristóteles.

Muy pocas disciplinas de la actualidad emplean ideas que tienen tres mil años de antigüedad. Por otra parte, las últimas investigaciones en matemática pueden hacer referencia a teoremas publicados el año pasado, pero también utilizar la fórmula de la superficie de una esfera que Arquímedes demostró alrededor del año 250 a.C. El modelo de nudos del átomo del siglo XIX apenas sobrevivió dos décadas, porque los nuevos descubrimientos demostraron que determinados elementos de la teoría eran erróneos. Así es como avanza la ciencia. Newton compartió la fama (¡o no!, véase el capítulo 4) de su colosal visión con los gigantes sobre cuyos hombros se alzó. También podría haberse disculpado con los gigantes cuya obra convirtió en obsoleta.

Pero la matemática no funciona así. Aunque el formalismo necesario para demostrar determinados resultados haya cambiado, los resultados matemáticos en sí no cambian. De hecho, como dice el matemático y escritor Ian Stewart, «en matemáticas hay una palabra para referirse a los resultados antiguos que han cambiado: se llaman simplemente errores».^[18] Y los errores no se reconocen como tales a causa de nuevos descubrimientos, como sucede en las demás ciencias, sino por un examen más riguroso de las mismas viejas verdades matemáticas. ¿Convierte esto a la matemática en la lengua propia de Dios?

Si opina que no es tan importante averiguar si la matemática es inventada o descubierta, tenga en cuenta lo tendencioso de la diferencia entre «inventado» y «descubierto» en esta pregunta: ¿Dios ha sido inventado o descubierto? O, para más provocación: ¿creó Dios a los hombres a Su imagen y semejanza, o los hombres inventaron a Dios a imagen y semejanza de ellos?

En este libro intentaremos dar respuesta a estas fascinantes preguntas (y algunas otras más). En el proceso, repasaremos algunas de las conclusiones obtenidas a partir de la obra de algunos de los grandes matemáticos, físicos, filósofos, científicos del conocimiento y lingüistas de la actualidad y de tiempos pasados. Buscaré también las opiniones, advertencias y reservas de numerosos pensadores de la actualidad. Vamos a iniciar este sugestivo periplo con la revolucionaria, aunque algo vaga, perspectiva de algunos de los filósofos de la Antigüedad.

Continua en ...

¿Es Dios un Matemático? Mario Livio 2009 Capitulo II Místicos: el numerólogo y el filósofo (I )Pitagoras

^[1] Jeans 1930. <<

^[2] Einstein 1934. <<

^[3] Hobbes l651. <<

^[4] Penrose comenta de forma sublime estos «tres mundos» en Penrose 1989 y Penrose 2004. <<

^[5] Wigner 1960. Volveré diversas veces a este artículo en el transcurso del libro. <<

^[6] Hardy 1940. <<

^[7] Para un comentario sobre la ley de Hardy-Weinberg en su contexto véase, por ejemplo, Hedrick 2004. <<

^[8] En 1973, Cocks inventó lo que se ha popularizado con el nombre de algoritmo de cifrado RSA, pero en aquel momento era secreto. Años después, R. Rivest, A. Shamir y L. Adleman del MIT reinventaron el algoritmo de forma independiente. Véase Rivest, Shamir y Adleman 1978. <<

^[9] Se puede hallar una descripción para profanos de la teoría de grupos y su historia en Livio 2005. <<

^[10] Véase Gleick 1987 para una descripción divulgativa de la aparición de la teoría del caos. <<

^[11] Black y Scholes 1973. <<

^[12] En Applegate et al. 2007 se ofrece una soberbia (aunque técnica) descripción del problema y de sus soluciones. <<

^[13] Changeux y Connes 1995. <<

^[14] Gardner 2003. <<

^[15] Atiyah l995. <<

^[16] Changeux y Connes 1995. <<

^[17] Véase, por ejemplo, Wallechinsky y Wallace 1975-1981 para una breve biografía de Marjory Fleming. <<

^[18] Stewart 2004. <<