domingo, 19 de enero de 2014

Niels Henrik Abel

Niels Henrik Abel (1802-1829) fue uno de los matemáticos más sobresalientes del siglo XIX y probablemente el genio más destacado que han visto nacer los países escandinavos. Junto con sus contemporáneos Gauss y Cauchy, Abel fue uno de los pioneros en el desarrollo de la matemática moderna, caracterizada por su insistencia en el rigor de las demostraciones. Su carrera fue una acerba mezcla de optimismo pleno de humor bajo la opresión de la pobreza y la negligencia, modesta satisfacción por los muchos descubrimientos de alto nivel en su breve madurez, y paciente resignación frente a una muerte temprana.

   Abel fue uno de los seis hijos de la familia de un pobre pastor rural noruego. Su enorme capacidad no pasó inadvertida por uno de sus profesores, quien le animó, cuando tenía sólo dieciséis años, a cultivarla, de modo que pronto se encontró leyendo y comprendiendo las obras de Newton, Euler y Lagrange. A título de comentario sobre esta experiencia, insertó en uno de sus cuadernos de notas de matemáticas algún tiempo después esta frase al margen: «Creo que si uno quiere progresar en matemáticas debe estudiar a los maestros, no a los discípulos».

   Cuando Abel tenía 18 años, murió su padre, dejando a la familia desvalida. Subsistieron merced a la ayuda de amigos y vecinos y, de un modo u otro, con las contribuciones de varios profesores, el muchacho pudo ingresar en la Universidad de Oslo en 1821. Sus primeras investigaciones, publicadas en 1823, incluían la solución del clásico problema de la tautócrona por medio de la ecuación integral antes discutida. Fue la primera solución de una ecuación de esta clase y abrió el camino al formidable desarrollo de las ecuaciones integrales en el siglo XIX y comienzos del XX. Probó asimismo que la ecuación general de quinto orden no es resoluble por radicales, al contrario de lo que sucede con la de cuarto orden, zanjando así un problema que había tenido en jaque a los matemáticos durante 300 años. La demostración apareció en un pequeño panfleto costeado a sus expensas.

   En su desarrollo científico, Abel pronto se dio cuenta de que Noruega se le había quedado pequeña, y anhelaba visitar Francia y Alemania. Con el respaldo de sus amigos y profesores, solicitó una ayuda estatal y, tras los consabidos papeleos y demoras, recibió una beca para efectuar un periplo por el continente. La mayor parte del primer año la pasó en Berlín, donde tuvo la fortuna de entrar en contacto con August Leopold Crelle, un entusiasta matemático aficionado que se convirtió en su principal amigo, consejero y protector. A su vez, Abel inspiró a Crelle al lanzamiento de su famoso Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, que fue la primera revista dedicada por completo a las matemáticas editada en el mundo. Los tres primeros volúmenes contaron en sus páginas con 22 artículos de Abel.

   La formación matemática previa de Abel había estado relacionada por completo con la tradición formal del siglo XVIII, tipificada por Euler. En Berlín pasó a situarse bajo la influencia de la nueva escuela de pensamiento liderada por Gauss y Cauchy, con énfasis en las demostraciones rigurosas por contraposición a los cálculos formales. Exceptuada la gran obra de Gauss acerca de las series hipergeométricas, resultaría harto difícil encontrar una sola demostración en análisis en esa época que fuera admitida hoy por aceptable. Como Abel expresaba en una carta a un amigo: «Si olvidamos los casos muy, muy simples, no hay una sola serie infinita en matemáticas cuya suma haya sido establecida en forma rigurosa. En otras palabras, las partes más importantes de las matemáticas carecen de fundamentos». En este periodo escribió su clásico estudio de la serie del binomio, en el que sentaba las bases de la teoría general de convergencia y daba la primera demostración rigurosa de la validez de ese desarrollo en serie.

   Abel había enviado su panfleto sobre la ecuación de quinto orden a Gauss a Göttingen, confiando que le sirviera a modo de pasaporte científico. Sin embargo, por alguna razón, Gauss lo dejó de lado sin mirarlo, ya que se halló sin cortar entre sus papeles tras su muerte 30 años después. Por desgracia para ambos, Abel se sintió rechazado y decidió ir a París sin visitar a Gauss.

   En París se encontró con Cauchy, Legendre, Dirichlet y otros, pero sus encuentros fueron superficiales y no se le llegó a reconocer su auténtica valía. Ya había publicado unos cuantos trabajos en el Journal de Crelle, pero los franceses no estaban al tanto todavía de esa revista de reciente aparición y Abel era demasiado tímido para hablar de su propia obra a personas a las que apenas conocía. Poco tiempo después de su llegada terminó su gran Mémoire des Fonctions Transcendantes, que él consideraría como su obra maestra. En ella aparece el descubrimiento relativo a las integrales de funciones algebraicas, conocido hoy como teorema de Abel, y es la base de la teoría posterior de las integrales abelianas, las funciones abelianas y buena parte de la geometría algebraica. Décadas más tarde, Hermitte parece haber comentado sobre esa Mémoire: «Lo que Abel ha legado a los matemáticos es suficiente para tenerles ocupados durante 500 años». Jacobi describió el teorema de Abel como el mayor hallazgo en cálculo integral del siglo XIX. Abel envió su manuscrito a la Academia de Francia, en la esperanza de que le haría ganar cierto renombre entre los matemáticos franceses, más esperó en vano, hasta que se quedó sin fondos y hubo de volver a Berlín. Lo que sucedió fue lo siguiente: se encargó a Cauchy y Legendre que examinaran el manuscrito; Cauchy se lo llevó a su casa, lo traspapeló y se olvidó por completo de él; no se publicó hasta 1841, aunque volvió a perderse de nuevo el manuscrito antes de que fueran corregidas las pruebas. El original apareció finalmente en Florencia en 1952. En Berlín, Abel terminó su primer artículo revolucionario sobre las funciones elípticas, un asunto que le había ocupado durante varios años y entonces regresó a Noruega, fuertemente endeudado.

   Confiaba ser nombrado, a su regreso, profesor en la Universidad, pero una vez más sus esperanzas se vieron defraudadas. Subsistió dando clases particulares y logró en un corto periodo de tiempo un puesto de profesor interino. Durante este periodo trabajó incesantemente, en especial en la teoría de las funciones elípticas que había descubierto como inversas de las integrales elípticas. Esta teoría pronto se abrió paso como uno de los campos principales del análisis del siglo XIX, con numerosas aplicaciones en teoría de números, física matemática y geometría algebraica. Entretanto, la fama de Abel se había propagado por todos los centros de matemáticas de Europa y figuraba entre la elite de los matemáticos de todo el mundo, pero en su aislamiento no tenía noticias de todo ello. A comienzos de 1829 la tuberculosis contraída en el transcurso de sus viajes había progresado hasta el punto de que era incapaz de trabajar, y en la primavera de ese mismo año murió, a la edad de 26 años. Ironía póstuma del destino, poco después de su muerte, Crelle le comunicaba que sus esfuerzos habían dado fruto y que Abel había sido propuesto para ocupar la cátedra de matemáticas de Berlín.

   En su panegírico, Crelle hablaba de Abel en el Journal en estos términos: «Toda la obra de Abel lleva la impronta de un ingenio y una potencia de pensamiento asombrosa. Cabe afirmar que fue capaz de penetrar todos los obstáculos hasta los fundamentos mismos de los problemas, con una fuerza que se nos antoja irresistible…Se distinguió también por la pureza y nobleza de su carácter y por una rara modestia que le hizo ser una persona tan apreciada como genial». Los matemáticos, no obstante, disponen de medios propios para recordar a sus grandes figuras, y por eso hablamos de la ecuación integral de Abel, de integrales y funciones de Abel, de grupos abelianos, de series de Abel, de la fórmula de sumación parcial de Abel, y de la sumabilidad de Abel. Pocos han visto su nombre adscrito a tantos conceptos y teoremas en la matemática moderna. Lo que hubiera podido llegar a hacer en una vida de duración normal está más allá de toda conjetura.

(Texto extraído de “Ecuaciones diferenciales” de George F. SimmonsEd. Mc Graw Hill)

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