martes, 21 de enero de 2014

Matemáticas y Juegos de azar ¿Que es la probabilidad?

¿Qué es la probabilidad?
Sea lo que sea, no es algo que se pueda ignorar. Un seguro de vida, de vivienda o de
automóvil dependen de una probabilidad que los asegurados tendrán que asumir, y
pagar. ¿Tiene usted que vacunarse contra la gripe este invierno? Deberá empezar
contraponiendo el riesgo de efectos secundarios o de una posible reacción a las
consecuencias derivadas de no vacunarse. Los miembros de un jurado sólo pueden
condenar a un acusado cuando “no hay ninguna duda razonable” de su culpabilidad.
En el sistema judicial, uno de los criterios más adecuados puede basarse en un
“balance de probabilidades”. Una persona decide comprar, o no, participaciones de
lotería por un impulso o por diversión, pero también pueden entrar en juego factores
como creer, aunque sea vagamente, en la posibilidad de ganar una suma considerable.
En los juegos de naipes, como el póquer o el bridge, se espera jugar mejor si se logra
tener una idea realista de la posibilidad de que otro jugador tenga una determinada
mano de cartas. Muchos problemas de decisión, ya sean serios o frívolos, pueden
afrontarse en mejores condiciones si se comprende el concepto de probabilidad. En
mi opinión, siempre es preferible conocer que ignorar, y una buena manera de llegar
a conocer la probabilidad consiste en familiarizarse con una serie de juegos en los
que ésta desempeña un papel relevante. 
Ser un experto en probabilidad puede no bastar para tomar decisiones acertadas. A
veces, lo único que se consigue saber es en qué nos hemos equivocado. No obstante,
por término medio, tanto en el juego como en la vida real, el proceso de toma de
decisiones mejora si somos capaces de evaluar la probabilidad de los distintos
resultados posibles. Este ensayo no es un tratado sobre la teoría de la probabilidad, sino un conjunto de planteamientos en cuya resolución intervienen argumentos
probabilísticos.
Las lenguas poseen una capacidad considerable de decir la misma cosa de distintas
formas. Después de mezclar bien las cartas de una baraja y escoger la primera, por
ejemplo, se puede afirmar “La probabilidad de que sea una pica es un cuarto”.
Las siguientes frases tienen exactamente el mismo significado que la anterior:
La probabilidad de que no sea una pica es de tres a uno.
Es tres veces más probable que salga una carta que no sea una pica.
Existen formas más elípticas de decir lo mismo: se puede recurrir a las palabras
“riesgo” o “posibilidad”, pero al margen de su formulación, ¿qué significa esa
premisa? ¿Qué nos induce a hablar de un cuarto y no de cualquier otro valor?
Sólo en un modelo ideal se puede afirmar que la probabilidad es “un cuarto”. Mi
modelo ideal es una baraja de 52 cartas de composición idéntica, 13 de ellas picas, y
tal que todas las combinaciones posibles que se pueden dar después de barajar las
cartas son igualmente probables. Si se cumpliesen estas condiciones, entonces la
primera carta sería una pica en una de cada cuatro de esas combinaciones igualmente
probables, lo cual explica la elección de “un cuarto”. Me consta que mi modelo no
puede ser exactamente correcto a todos los efectos, pero espero que se acerque lo
suficiente a la realidad como para no dar una respuesta equivocada. Tampoco se
necesitó un modelo perfecto del mundo físico para depositar vehículos espaciales
sobre las superficies de la Luna y Marte.
El experimento con las cartas puede repetirse tantas veces como se quiera. En este
caso, se puede comprobar la validez de una afirmación acerca de la probabilidad
recurriendo a un gran número de experimentos del mismo tipo. Si la probabilidad de
un suceso es un cuarto, entonces es de esperar que se produzca, por término medio,
una vez de cada cuatro. De hecho, eso no significa que tiene que producirse
exactamente una vez en cada bloque de cuatro repeticiones: puede ocurrir varias
veces seguidas y puede que no se produzca en una docena de experimentos. El
problema de este enfoque reside en saber qué entendemos por término medio y gran
número. ¿Bastan 100 experimentos? ¿Tal vez 10.000? Desgraciadamente, no hay
forma de saber hasta qué punto es grande un gran número.

También se suele hablar de probabilidad cuando nos referimos a acontecimientos
únicos, irrepetibles, como el hecho de que el índice bursátil aumente por lo menos un
10% en el próximo año o que Brasil gane el próximo campeonato mundial de fútbol.
La idea de una frecuencia media a largo plazo carece de importancia cuando es
imposible reconstruir las circunstancias reales. Tampoco estamos limitados a
ocuparnos del futuro: una afirmación del tipo “La probabilidad de que Shakespeare
escribiese Macbeth es del 80%” tiene sentido, pues expresa la opinión de un
especialista.
Considerar la “probabilidad” como un nivel de certeza permite reconciliar ambos
enfoques. Cuanto mayor sea el nivel de certeza de un acontecimiento, mayor será la
probabilidad que se le asocia. Si deseo evaluar mi nivel de certeza de que el índice
bursátil aumentará cierta cantidad, puedo preguntar a un experto en bolsa. Tal vez me
diga que puedo apostar dos a uno, es decir, que si apuesto una libra y gano, recibiré
tres libras (la libra que he apostado y otras dos que habré ganado). Mi reacción a su
oferta me da una idea de la probabilidad que puedo asignar al acontecimiento en
cuestión. Si tengo la impresión de que apostar en esas condiciones es favorable, estoy
asignando una probabilidad superior a un tercio. Si, en cambio, considero que no es
una buena apuesta, entonces mi nivel de certeza es inferior a un tercio. Todo el
mundo puede hacer este tipo de consideraciones, pero es fácil que las opiniones
difieran. La probabilidad es algo muy personal. En el ejemplo de la pica es una baraja
de cartas, posiblemente coincidamos en evaluar nuestras probabilidades en un cuarto,
porque los modelos de nuestro experimento son prácticamente idénticos. En otras
circunstancias, especialmente cuando disponemos de informaciones muy distintas, la
evaluación de la probabilidad puede variar enormemente. El propietario de un caballo
de carreras tendrá una opinión de las posibilidades de su caballo muy distinta a la de
un lector de periódicos o a la del simple aficionado a las carreras de caballos.
En los ejemplos en los que intervienen los dados, monedas, cartas, etc., se da un
consenso generalizado en cuanto al modelo adecuado y, por tanto, el desacuerdo en
las probabilidades es mucho menor. La gente puede tener razones muy distintas para
creer que la rueda de una ruleta determinada funciona adecuadamente, pero todos
aquellos que coincidan en considerar que sus 37 números son igualmente probables
utilizarán el mismo modelo para analizar las posibles apuestas. A lo largo de este
libro, mantendremos esta posición en lo esencial. Sin embargo, en algunos casos, los
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expertos pueden manifestar opiniones diferentes. Descubrir si estas diferencias tienen
grandes repercusiones en las decisiones que tomamos o las conclusiones que sacamos
es una parte crucial de cualquier análisis.
Reflexionar con lógica.
Debemos al erudito victoriano Francis Galton un magnífico ejemplo de los peligros
de no reflexionar cuidadosamente. Si se lanzan tres monedas iguales al aire, ¿cuál es
la probabilidad de obtener tres caras o tres cruces? Consideremos un razonamiento
carente de sentido como el siguiente:
Por lo menos dos de las tres monedas han de dar el mismo resultado, ya sea dos caras
o dos cruces. La tercera moneda tiene la misma probabilidad de salir cara o cruz, con
lo cual la mitad de las veces saldrá como las otras dos y la otra mitad saldrá distinta.
Por consiguiente, la probabilidad de que las tres sean iguales es de la mitad.
Para detectar el error de este razonamiento, se requiere un enfoque lógico. Una forma
consiste en colorear las monedas de rojo, azul y verde, y hacer un listado de todos los
resultados posibles lanzando las monedas en ese orden. Al distinguir las monedas, se
evita el error que Galton nos presenta de forma provocadora. Los ocho posibles
resultados son {CCC, CC+, C+C, +CC, C++, +C+, ++C, + + +}, de los que sólo dos
son iguales. Por tanto, la respuesta es muy distinta. La probabilidad de que las tres
monedas caigan del mismo lado es de dos de ocho o, lo que es lo mismo, un cuarto.
El error en este razonamiento se encuentra en la expresión “la tercera moneda”, al
comienzo de la segunda frase. Si no estamos distinguiendo las monedas entre sí,
¿cómo podemos saber cuál de ellas es la tercera? Si en dos de las monedas han salido
cara, entonces está claro que la otra es la tercera, pero también se deduce que en esa
moneda ha salido cruz; no es cierto, por tanto, que tenga “la misma probabilidad de
salir cara o cruz”. Y si las tres monedas salen cara, cualquiera de ellas a la que se
considere la tercera tendrá que haber salido cara. Por tanto, la probabilidad de salir
cara o cruz no es exactamente la misma.
Este tipo de pensamiento poco lógico puede costar dinero. Supongamos que Andrés
considera que la probabilidad es de un cuarto y que está dispuesto (siendo muy poco
generoso) a pagar la apuesta a dos a uno si las tres monedas salen cara o cruz. Espera
ganar dinero en la operación. Si apuesta una libra, supone que ganará en tres de cada
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cuatro juegos y perderá dos libras en el juego restante. Por término medio, obtendrá
un beneficio de una libra después de cuatro juegos. En cambio, Bernardo, que se cree
el falaz argumento anterior, aceptará gustosamente la apuesta. Creerá que la mitad de
las veces perderá una libra, pero que ganará dos libras las veces restantes y que, por
tanto, obtendrá un beneficio. Ambos están dispuestos a jugar de buen grado, pero el
análisis de Bernardo es erróneo. Cuanto más juegue, más perderá y, tarde o temprano,
deberá reconsiderar la situación.
La regla inviolable.
En el vocabulario de la probabilidad aparecen palabras y expresiones como
“posible”, “probable”, “con casi toda seguridad”, etc., pero lo que se entiende por
“muy probable” puede variar de un día a otro, y puede diferir de lo que pueda pensar
otra persona. Para entendernos, usaremos los números.
Las probabilidades se miden en una escala del cero al uno. Las palabras “imposible”
y “probabilidad nula” significan lo mismo. Por mi parte, asigno probabilidad nula a
un viaje atrás en el tiempo hasta la época de Mozart, pero cada uno puede tener su
opinión. Por otra parte, “probabilidad uno” equivale a “seguridad”. Considero que es
seguro que Elvis Presley está muerto. Tal vez haya quien esté dispuesto a apostar que
resucitará dentro de diez años (seguramente haciendo esquí náutico en el lago Ness,
perseguido por el monstruo). Sean cuales sean las opiniones de cada cual sobre los
acontecimientos reales o hipotéticos, carece de sentido hablar de probabilidad fuera
del intervalo entre cero y uno. Es una regla inviolable.
Sin embargo, debo confesar que algo me ha incomodado en todo esto. En mi primera
época de profesor universitario, propuse en un examen una pregunta “inteligente”
sobre la relación entre dos probabilidades. Se podía resolver con facilidad, y las
respuestas parecían sensatas. Desgraciadamente, una consecuencia de mi solución era
que ¡otras dos probabilidades violaban esa regla! La situación se aclaró gracias a la
intervención de un colega con más experiencia que yo, que consiguió que la pregunta
no saliera de su despacho.
Las probabilidades se pueden expresar en forma de cocientes, fracciones, decimales o
porcentajes comprendidos entre 0% y 100%. Depende de cada cual. Las fracciones
aparecen de forma natural si todos los resultados son igualmente probables, como ocurre cuando se lanza un dado o en los juegos de cartas o al hacer girar una ruleta.
En esos casos, los cálculos suelen ser más fáciles si se representan las probabilidades
en forma de fracciones; en general, es poco conveniente, en una primera fase,
transformar las probabilidades en decimales. Si se desea comparar diversas
probabilidades, se pueden utilizar tanto los porcentajes como los decimales o las
fracciones con un denominador común.
Algunos métodos de trabajo.
Conviene tener siempre presente dos ideas básicas. La primera se refiere a los
llamados sucesos excluyentes: si es imposible que dos cosas sucedan al mismo
tiempo, entonces son excluyentes. Por ejemplo, si se extrae una carta de una baraja,
se puede sacar un corazón o un diamante, pero no ambas cosas al mismo tiempo: los
sucesos son excluyentes. Puede ser un trébol o un rey: no son excluyentes, pues
puede tratarse del rey de tréboles. Cuando los sucesos son excluyentes, para obtener
la probabilidad de que ocurra al menos uno de ellos basta con sumar las
probabilidades individuales. Si la probabilidad de que salga un corazón es un cuarto y
la de un diamante es un cuarto, entonces la probabilidad de que salga una carta roja es
un medio.
La otra idea básica es la de independencia. Dos sucesos son independientes cuando el
conocimiento de que uno se produzca o no se produzca no influye sobre la
probabilidad del otro. Por ejemplo, si lanzo al aire una moneda mientras usted lanza
otra, los posibles resultados pueden considerarse independientes. Pero si extraigo una
carta de una baraja y usted saca una carta de las restantes, los resultados no serán
independientes. Por ejemplo, saber que mi carta es un as reduce la proporción de ases
de la baraja y, por tanto, afecta a la probabilidad de sacar un segundo as.
Normalmente, resulta evidente cuándo dos sucesos pueden considerarse
independientes. Según la definición más habitual, cuando dos sucesos son
independientes, la probabilidad de que se produzcan ambos es el producto de sus
probabilidades individuales.
La probabilidad de sacar un seis en el lanzamiento de un dado es 1/6. Si a
continuación hacemos otro lanzamiento independiente, la probabilidad de sacar dos
seises es (1/6) x (1/6) = 1/36. Supongamos que cada tres años algún petrolero vierte
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al mar una cantidad considerable de petróleo y que cada cuatro años un determinado
equipo gana la copa de fútbol. Es difícil pensar que ambos sucesos interfieran entre
sí, por lo que parece razonable pensar que son independientes entre sí. Por tanto, para
un año cualquiera, la probabilidad de que se produzca un vertido y que aquel equipo
concreto gane la copa es (1/3) x (1/4) = 1/12.
A veces, puede parecer sorprendente que algunos sucesos sean independientes.
Consideremos los dos sucesos siguientes, en los que interviene un dado corriente.
Obtener un número par, es decir, 2, 4 o 6.
Obtener un múltiplo de tres, es decir, 3 o 6.
Los sucesos son independientes, ¡incluso en la misma tirada! Por tanto, el hecho de
que el resultado sea un número par no influye en la probabilidad de que sea un
múltiplo de tres, o viceversa. Cada una de las seis caras distintas del dado tiene una
probabilidad de 1/6 y, dado que hay tres números pares, la probabilidad total de que
salga un número par (sumando las tres probabilidades individuales) es 3/6 = 1/2. Del
mismo modo, la probabilidad de que salga un múltiplo de tres es 2/6 = 1/3. Al
multiplicar ambas probabilidades se obtiene 1/6. Pero la única manera de que se
produzcan ambos sucesos es que salga un seis, cuya probabilidad también es 1/6. Por
tanto, los sucesos son independientes, ya que la probabilidad de que se produzcan
ambos es igual al producto de ambas probabilidades.
Consideremos ahora un dado que no sea de seis caras, por ejemplo un tetraedro,
cuyos cuatro lados, designados por {1, 2, 3, 4}, tengan la misma probabilidad de
salir. En este caso, los dos sucesos no son independientes. Si el resultado es un
número par, entonces es imposible que sea también un múltiplo de tres (y viceversa).
Formalmente, si se utiliza la definición de independencia anterior, la probabilidad de
que salga un número par sigue siendo 1/2 (dos números pares de los cuatro posibles),
pero la probabilidad de obtener un múltiplo de tres pasa a ser ¼, ya que sólo uno de
los cuatro posibles resultados es múltiplo de tres. Al multiplicar ambas
probabilidades se obtiene (1/2) x (1/4) = 1/8. Pero en este dado no es posible que el
resultado sea a la vez par y múltiplo de tres, ya que el dado no tiene ningún múltiplo
de seis. Por tanto, la probabilidad de que se produzcan ambos es cero y no 1/8.
Si utilizamos un dado en forma de diamante de ocho caras, ¡los dos sucesos vuelven a
ser independientes! En esta ocasión, los números pares aparecen una de cada dos veces, y los múltiplos de tres una vez de cada cuatro. Para obtener al mismo tiempo
un número par y un múltiplo de tres, se necesita un múltiplo de seis. En este dado de
ocho caras, sólo hay un múltiplo de seis, el propio seis, por lo cual la probabilidad de
que salga un múltiplo de seis es 1/8. Y dado que (1/2) x (1/4) = 1/8, los sucesos son
independientes, de acuerdo con la definición que hemos adoptado.
En este dado octaédrico, si el resultado es un múltiplo de tres, ello significa que sólo
puede haber salido el tres o el seis. Así, el resultado será un número par, seis, la mitad
de las veces. La probabilidad de obtener un número par es un medio, al margen de
que el resultado sea un múltiplo de tres. Igualmente, si se nos dice que el resultado es
un número par, entonces hay cuatro posibilidades {2, 4, 6, 8}, entre las que sólo se
encuentra un múltiplo de tres. Así pues, que el resultado sea un número par no influye
en la probabilidad de que salga un múltiplo de tres; ésta es 1/4, con o sin dicha
información.
En estos ejemplos se han considerado dos sucesos (obtener un número par y obtener
un múltiplo de tres) que pueden ser o no independientes en función del número de
caras del dado. Cuando se trabaja con probabilidades, es necesario especificar el
modelo en su totalidad. Para decidir intuitivamente si dos sucesos son independientes,
hay que plantearse la siguiente pregunta: si se sabe con certeza que uno de ellos ha
ocurrido, ¿modifica esta situación la probabilidad de que se produzca el otro? Si la
respuesta es negativa, entonces los sucesos son independientes.

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