Eudoxo y la escuela de Atenas

Un segundo estadio en la historia de las matemáticas tuvo lugar durante los siglos V y IV AC, y está relacionado con Atenas.

   Tales y Pitágoras habían puesto los fundamentos de la geometría y la aritmética. La escuela de Atenas se concentró en aspectos especiales de la superestructura; y, bien por accidente o por predestinación, se encontraron envueltos en tres grandes problemas:

1)      La duplicación del cubo o el intento de encontrar la arista de un cubo cuyo volumen sea el doble del de un cubo dado.

2)      La trisección de un ángulo dado

3)      La cuadratura del círculo o intento de encontrar un cuadrado cuya área sea igual a la de un círculo dado.

Estos problemas se presentaron naturalmente en un estudio sistemático de la geometría; pero, a medida que pasaban los años y no se encontraban soluciones, atrajeron una atención creciente.

   Anaxágoras, que provenía de Esmirna, fue uno de los primeros filósofos; llevó la nueva ciencia de Jonia a Atenas. Se dice que descuidó sus propiedades, que eran considerables, para dedicarse a la ciencia, y respondiendo a la pregunta sobre cuál era el objeto de haber nacido, señaló: “La investigación del Sol, la Luna y el cielo”. En Atenas compartió las distintas suertes de su amigo Pericles, el gran hombre de Estado, y una vez fue encarcelado por impiedad. Sabemos esto por un antiguo relato que añade que “mientras estaba en la cárcel escribió (o diseñó) la cuadratura del círculo”, una alusión breve, pero interesante, al famoso problema. La geometría del círculo no ha padecido indebidamente por el cautiverio de sus devotos. Siglos más tarde se abría otro gran capítulo cuando los rusos metieron en la cárcel, donde resolvió el problema de los puntos cíclicos del infinito, a Poncelet, un oficial al servicio de Napoleón. No obstante, Anaxágoras fue famoso principalmente por su trabajo en astronomía.

Hipócrates, su contemporáneo más joven, vino de Chios a Atenas hacia mediados del siglo V AC. Hizo progresos notables. Fue el primer autor conocido que haya escrito un tratado de matemáticas elementales; dedicó su atención a las propiedades del círculo. Actualmente, su trabajo práctico permanece entre los teoremas de Euclides, si bien se ha perdido su trabajo original. Su éxito principal es la demostración de la hipótesis de que los círculos se hallan entre sí en la misma razón que los cuadrados de sus diámetros. Esto equivale al descubrimiento de la fórmula  πr²  del área del círculo en función de su radio, lo cual significa que existe determinado número  π  y que es el mismo para todos los círculos, si bien su método no da el valor numérico real de  π . Se cree que llegó a estas conclusiones considerando el círculo como el límite de un polígono regular, ya sea inscrito o circunscrito. Este fue el primer ejemplo del método exhaustivo, una utilización particular de la aproximación por encima y por debajo del límite deseado.