Tales y Pitagoras

Según Aristóteles,  las matemáticas se originaron porque la clase sacerdotal de Egipto tenía el tiempo necesario para dedicarse a su estudio; más de dos mil años más tarde se obtuvo una corroboración exacta de esta afirmación mediante el descubrimiento de un papiro conservado actualmente en la colección Rhind en el British Museum. Este curioso documento, escrito por el sacerdote Ahmes, que vivió antes del 1.700 AC, se titula “Orientaciones para conocer todas las cosas oscuras”; y la obra demuestra ser una colección de problemas de geometría y aritmética. Geometría proviene de “medir tierra”, mientras que la aritmética es la ciencia de los números (arithma).

   Tales de Mileto fue un rico comerciante que vivió desde el 640 hasta el 550 AC. Tenía mucho éxito como hombre de negocios; sus tareas como mercader lo llevaron a muchos países y su ingenio natural le permitió aprender de las novedades que veía.

   Se dice que una vez Tales estaba encargado de algunas mulas cargadas con sacos de sal. Mientras cruzaban un río, uno de los animales resbaló; al disolverse la sal en el agua, su peso disminuyó instantáneamente. El astuto animal, como es natural, se sumergió deliberadamente en el próximo vado y continuó este truco hasta que Tales atinó con la feliz solución de llenar el saco de esponjas. Este demostró ser un remedio eficaz.

   En otra ocasión, Tales, que preveía una cosecha de aceitunas extraordinariamente finas, se apoderó de todas las prensas de olivas del distrito; una vez obtenido este “monopolio”, se convirtió en el jefe del mercado y pudo dictar sus propias condiciones. Pero entonces, según un relato, una vez que hubo demostrado lo que podía hacer, su propósito ya había sido conseguido; en vez de oprimir a sus compradores, vendió magnánimamente la fruta a un precio tan razonable que horrorizaría a un capitalista de hoy en día.

   Fue un gran matemático y un gran astrónomo a la vez. Gran parte de su fama popular se debió a su acertada predicción de un eclipse solar en el año 585 AC. No obstante, se dice que, mientras contemplaba las estrellas durante un paseo nocturno, cayó dentro de una zanja; entonces una anciana que lo atendió exclamó: ¿cómo podéis saber qué ocurre en los cielos si no veis lo que se encuentra a vuestros pies?

   Vivimos tan lejos de estos inicios de la admiración racional por las cosas naturales, que corremos el riesgo que se nos escape el verdadero valor de resultados que actualmente nos son muy familiares, como, por ejemplo, las conocidas proposiciones de que todo diámetro bisecta al círculo, o de que los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales, o de que el ángulo inscripto en un semicírculo es recto, o de que los lados correspondientes a ángulos iguales en triángulos semejantes son proporcionales. A Tales se le han atribuido éstas y otras proposiciones parecidas, las cuales, simples como son, marcan una época. Su experimento para determinar la altura de la gran pirámide comparando su sombra con la de una vara vertical ─realizado como dice Plutarco “tan sencillamente, sin ningún alboroto ni instrumento”─ tenemos la noción de razones iguales o proporción.

   Tales nunca olvidó la deuda contraída con los sacerdotes de Egipto, y cuando ya era anciano aconsejó firmemente a su discípulo Pitágoras que les hiciera una visita. Pitágoras, actuando de acuerdo con este consejo, viajó y obtuvo una amplia experiencia, que le fue de gran utilidad cuando, a la larga, se estableció y reunió sus propios discípulos a su alrededor, llegando a ser aún más famoso que su maestro. Se supone que Pitágoras era nativo de Samos y pertenecía, como Tales, a la colonia jónica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor. Vivió desde aproximadamente 569 AC hasta el 500 AC. En el 529 AC se instaló en Trotona, una ciudad de la colonia dórica en el sur de Italia, y allí comenzó a disertar sobre filosofía y matemáticas.

   La influencia de este gran maestro fue tan notable, que los más interesados de sus discípulos se constituyeron gradualmente en una sociedad o hermandad. Se les conocía como la Orden de Pitágoras, y pronto ejercieron una gran influencia más allá del mundo griego. Esta influencia no fue tanto política como religiosa. Los miembros de la sociedad lo compartían todo, sostenían las mismas creencias filosóficas, se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometían con el juramento a no revelar los secretos y las enseñanzas de la escuela. Por ejemplo, cuando Hipasso pereció en un naufragio,  ¿no es cierto que su destino fue debido a una promesa rota ? ¡ había divulgado el secreto de la esfera con sus doce pentágonos !

   En matemáticas, los pitagóricos hicieron grandes progresos, particularmente en la teoría de los números y en la geometría de áreas y volúmenes. No podemos estar completamente seguros de la paternidad de cada teorema particular, puesto que entre los miembros de la hermandad existía la práctica generosa de atribuir toda autoridad sobre cada nuevo descubrimiento al mismo Pitágoras.

   De acuerdo a un relato, cuando Pitágoras descubre el teorema que lleva su nombre, en su alborozo sacrificó un buey. Pitágoras también se interesó por los objetos naturales abstractos, y se dice que descubrió las maravillosas progresiones armónicas de las notas de la escala musical, hallando la relación entre la longitud de una cuerda y el tono de la nota producida al vibrar. Conmovido por este descubrimiento, vio en el número el elemento de todas las cosas.

   Otro tipo de problemas que interesó a Pitágoras fue el del denominado método de aplicación de áreas. Su solución es notable porque proporcionó el equivalente geométrico de la resolución de una ecuación cuadrática en álgebra. El problema principal consistía en trazar, sobre una línea recta dada, una figura que tuviera el tamaño de una figura dada y la forma de otra también dada. En el curso de la resolución debía ocurrir una de las tres cosas siguientes: la base de la figura construida se ajustaría, sería demasiado corta o excedería a la longitud de la línea recta dada. Pitágoras consideró apropiado llamar la atención sobre estas tres posibilidades; por consiguiente, introdujo los términos parábola, elipse e hipérbola. Muchos años más tarde su nomenclatura fue adoptada por Apolonio, el gran estudioso de la sección cónica porque las mismas características triples se presentaban en la construcción de esta curva. Y nosotros, que seguimos a Apolunio, aún denominamos a la curva parábola, elipse o hipérbola según sea el caso. La misma clasificación triple sirve de base a los símbolos =, <, > en aritmética. En la historia de las matemáticas, esta clasificación ha demostrado ser, durante mucho tiempo, la clave para descubrimientos ulteriores.

   Según la filosofía de los pitagóricos, podía reducirse el espacio y la geometría a números puros. Entonces tuvo lugar el embarazoso descubrimiento del mismo Pitágoras, de que la reducción no siempre era posible; de que en geometría algo se sustraía a los números enteros. No sabemos exactamente cómo tuvo lugar este descubrimiento de los irracionales, si bien pueden citarse ejemplos primarios. Cuando a es la diagonal y b el lado de un cuadrado, no se puede hallar ninguna medida común.