13 Semejanza

13.1 Polígonos semejantes. Dos polígonos con el mismo número de lados son semejantes , si sus lados correspondientes son proporcionales, y sus ángulos correspondientes son iguales. La correspondencia aquí mencionada es biunívoca, y es de tal forma que a cada par de lados consecutivos, en un polígono, y el ángulo entre ellos, corresponde un par de lados consecutivos y el ángulo incluidos entre ellos en el otro.
Estos dos polígonos se dice que son directamente semejantes o inversamente semejantes según que las partes correspondientes estén colocadas en el mismo orden o en el inverso.
Se prueba en geometría elemental que cuando los polígonos son triángulos la igualdad de sus ángulos se concluye de la proporcionalidad de sus lados; y la proporcionalidad de sus lados se concluye de la igualdad de sus ángulos.
13.2 Figuras homotéticas. Si unimos los vértices de un polígono a un punto O del plano, y a cada una de estas líneas de unión las dividimos en la misma razón , los puntos de división son los vértices de un polígono semejante. Más generalmente, consideramos cualquier figura plana, que consiste en los sistemas de puntos A,B, C... y sean las líneas OA, OB, OC,... las que unen estos puntos a cualquier punto O del plano. Si A´,B´,C´,...son puntos de estas líneas respectivamente y si existe un número k tal que

entonces la figura formada por los puntos A´, B´, C´,... es semejante a la figura dada, y está semejantemente colocada. Se sigue inmediatamente que, si tres o más puntos de una figura dada están en línea recta, los puntos correspondientes de la segunda figura están también en una línea recta y estas dos líneas son paralelas.
Dos figuras semejantes colocadas semejantemente, se llaman figuras homotéticas. El punto O es su centro de homotecia y la constante k es su razón de homotecia. La razón homotética de dos figuras homotéticas es también llamada razón de similitud, y su centro de homotecia es llamado centro de similitud.
13.3 Simetría con respecto a un punto. La razón de similitud puede ser positiva negativa. Un caso importante y especial de esto último, es aquel en el cual tiene el valor-1. Las dos figuras se dice que son simétricas. Así , si la circunferencia de un círculo esta dividida en dos medias circunferencias por cualquier par de puntos diametralmente opuestos, estas dos medias circunferencias son simétricas con respecto al centro del círculo como centro de simetría. Algunas veces mencionamos este hecho, diciendo que un círculo es simétrico con respecto a su centro. El cuadrado, el rectángulo y el rombo, son cada uno simétrico con respecto a su centro.

13.4 Líneas antiparaleas. Si dos pares de líneas están en tal forma que la bisectriz del ángulo formado por el primer par, es transversal al segundo par y los ángulos interiores en el mismo lado de la transversal son iguales, las líneas del segundo par son antiparalelas la una a la otra, con respecto a las líneas del primer par. En la fig.9, las líneas c y d forman ángulos iguales α y β con l como bisectriz del ángulo formado por las líneas a y b. Entonces c y d son antiparalelas con respecto a a y b.
Si una de las dos antiparalelas es girada 180° alrededor de la bisectriz l. Queda paralela a la otra. Esta es la propiedad que sugiere el uso del termino antiparalelo.
Puesto que las líneas, c , d y l, determinan un triángulo isósceles, se sigue que la bisectriz de uno de los ángulos formados por c y d es perpendicular a l y que esta bisectriz y las líneas , a y b, también determinan un triángulo isósceles. Por lo que tenemos

Teorema : Si dos pares de líneas están colocadas de tal forma que las líneas del prime par son antiparalelas con respecto a las líneas del segundo par, entonces las líneas del segundo par son antiparalelas con respecto al primero.
Ejemplo (a) En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa y uno de los lados perpendiculares son antiparalelos con respecto a los otros dos lados del triángulo.
(b) Los lados no paralelos de un trapecio son antiparalelos con respecto a los lados paralelos.
(c) Dos líneas paralelas son antiparalelas con respecto a otras dos, si las primeras son perpendiculares a la bisectriz de uno de los ángulos del ángulo formado por las otras dos. En particular, en un rectángulo, cada par de lados opuestos es antiparalelo con respecto a los otros dos lados. Así también las bases de un trapecio son antiparaleas con respecto a los lados no paralelos.

13.5 Cuadriláteros cíclicos. Si un conjunto de puntos están todos en la misma circunferencia, se dice que estos puntos son concíclicos. Un cuadrilátero cuyos vértices son concíclicos, es llamado un cuadrilátero cíclico.
Se prueba fácilmente que cuando los dos pares de líneas de la Fig. 9 , se intersecan en cuatro puntos distintos y forman un cuadrilátero convexo, sus ángulos opuestos son suplementarios; si forman un cuadrilátero cruzado, estos ángulos son iguales en magnitud. Así en cada caso los cuatro puntos son concíclicos y en el cuadrilátero que determinan es un cuadrilátero cíclico.

Teorema: Si dos líneas que son antiparalelas con respecto a otras dos , cortan a estas últimas en cuatro puntos distintos, estos cuatro puntos son los vértices de un cuadrilátero cíclico; e inversamente , cada par de lados opuestos en un cuadrilátero cíclico, es antiparalelo con respecto al otro par.

13.6 Teoremas de Ptolomeo. Un famoso teorema de cuadriláteros cíclicos es el debido a Ptolomeo (150 d.c ) y usado por él en El Almagest, es el siguiente:
Teorema: El producto de as diagonales de un cuadrilátero cíclico, es igual a la suma de los productos de los lados opuestos.

En la Fig. 10, dibujamos la línea AE, formando el ángulo DAE igual al ángulo CAB y hagámosla intersecar DB en E. Entonces , puesto que los triángulos DAE y CAB son semejantes, se infiere por la proporcionalidad de sus lados que AD × BC = ED × AC. Y de los triángulos semejantes ADC y AEB, tenemos también AB × CD = BE × AC. Sumando estas ecuaciones y señalando que BE + ED = BD, tenemos AD × BC + AB × CD = AC × BD .
El inverso de este teorema es verdad. Su prueba se sugiere al estudiante como un ejercicio.

13.7 Circunferencias homotéticas. Si dos circunferencias son concéntricas , evidentemente son homotéticas, siendo el centro de las circunferencias el centro de homotecia y la razón de sus radios la razón de homotecia.
Consideremos dos circunferencias no concéntricas. Unamos el centro O de una de ellas a cualquier punto A de la circunferencia, no colineal con los centros. Dibujemos el diámetro de la otra circunferencia paralela a OA cortando la circunferencia en A’ y A’’. Hagamos Que AA´ y AA´´ corten a la línea de los centros en H y K respectivamente . Entonces el triángulo OAH es similar al triángulo O’A’H’ , y el triángulo OAK es similar al triángulo OÁ´´K. De esto se sigue que las dos circunferencias son homotéticas en dos formas, siendo los puntos H y K los centros de homotecia. Más aún, H y K dividen el segmento OO´ interna y externamente en la razón de los radios de las circunferencias.
Puede ser probado fácilmente que si las circunferencias tienen tangentes externas comunes ,ellas se encuentran en el punto K de la línea de los centros, y que si tienen tangentes internas comunes , ellas se cortan en el punto H. De lo cual tenemos el:
Teorema: Si dos circunferencias tienen tangentes externas comunes, estas tangentes pasan por uno de sus centros de homotecia, y si tienen tangentes internas, éstas pasan por el otro centro de homotecia.

13.8 Puntos homólogos y antihomólogos. Si una línea que pasa por un centro de similitud de dos circunferencias no concéntricas , interseca una de ellas en dos punto distintos , intersectará también la otra en dos puntos distintos . Estos cuatro puntos de intersección son homotéticos en pares, y los dos puntos de cada par homotético, son llamados puntos homólogos . Pero pueden ser apareados de tal forma que cada par contenga un punto en cada circunferencia , y no sean homotéticos. Los puntos de estos pares se dice que son puntos antihomólogos con respecto al centro de similitud que está en la línea que pasa por estos puntos. Así en la Fig 12, AA´ ,y BB´ , son pares homólogos , mientras que A,B´ y A´B son pares de puntos antihomólogos con respecto al centro de homotecia K.
13.9 Propiedades de los puntos homólogos y antihomólogos . En la Fig. 12, A´, B y C´D son pares de puntos antihomólogos con respecto al mismo centro de similitud y están en distintas líneas que pasan por dicho centro. Así también A,A´, B,B´, C,C´, D,D´, son pares homólogos. Algunas propiedades referentes a estos puntos son las siguientes:

(1) B´D´ es paralela a BD , y los triángulos KB´D´, y KBD son directamente similares.
(2) A´C´ es antiparalela a BD con respecto a A´B y C´D, y los triángulos KA´C´y KDB son inversamente semejantes. Esto por ser el ángulo CÁ´B´ suplemento del ángulo B´D´C´ y por lo tanto del BDC, e inferimos que el cuadrilátero A´C´DB es cíclico. (Sección 2.5)
(3) El producto de los segmentos KA´y KB ,es constante. Esto se ve en la semejanza de los triángulos KA´C´y KDB.
(4) Cada uno de los conjuntos de puntos A´C´,D,B y A,C,D´,B´ es concíclico.
(5) Tangentes a las circunferencias en A´y B forman ángulos iguales con la línea A´B. Si estas tangentes se intersecan en E el triángulo EA´B es isósceles.
13.10 Circunferencia de similitud. La circunferencia de similitud de dos circunferencias no concéntricas, es la circunferencia que tiene como diámetro el segmento que une sus centros de similitud.
Teorema: La circunferencia de similitud de dos circunferencias no concéntricas es el lugar geométrico de los puntos (1 ) tales que las razones de sus distancias a los centros de las circunferencias don iguales a las razones entre los radios; y (2) desde los cuales las dos circunferencias subtienden ángulos iguales.

Consideremos primero dos circunferencias desiguales y sea P (Fig .13) un punto tal que PO : PO´ = r : r´ , donde r y r´ son los radios de las circunferencias O y O´, de los cuales H y K son los centros de similitud. Entonces ya que OH : HO´= r: r´PH es la biectriz del ángulo interior en P del triángulo OPO´. Asimismo, PK es la bisectriz del ángulo exterior en P del mismo triángulo. Entonces PH y PK son perpendiculares, y P está en la circunferencia de similitud.

Inversamente, supongamos que P está en la circunferencia de similitud. En la línea de los centros tomemos O´´ tal que PH biseque al ángulo O´PO´´. Entonces puesto que PH y PK son perpendiculares y que bisecan los ángulos interior y exterior en P del triángulo O´´PO´, tenemos

Y O´´ coincide con O. Se sigue que PO: PO´ = r : r´.
Si se trazan las tangentes de P a las circunferencias dadas, y en cada circunferencia el punto de tangencia es unido al centro de la circunferencia, se obtienen triángulos rectángulos similares de lo cual es consecuencia directa la según aparte del teorema.
Si dos circunferencias son iguales , su circunferencia de similitud degenera en la mediatriz del segmento que une sus centros y la línea a infinito.
13.11 Círculo de Apolonio.
Teorema: El lugar geométrico de los puntos cuyas razones de distancias a dos puntos fijos es una constante, es un círculo, el círculo de Apolonio.
Sean los puntos fijos O y O´ y la razón de sus distancias a P sea r:r´. Construyamos circunferencias con centros n O y O´ cuyos radios tengan la razón r:r´. Luego por la sección inmediata anterior, el lugar geométrico de los puntos P es la circunferencia de similitud.
13.12 Construcciones basadas en la similitud. Muchas construcciones geométricas pueden basarse directamente en la teoría de la similitud. Como un ejemplo resolvamos el problema: inscribir un cuadrado en un triángulo dado.

En la línea del lado AC del triángulo dado ABC, tomamos un segmento arbitrario PS y sobre este segmento como lado construimos el cuadrado PQRS que está en el mismo lado de AC que el triángulo dado. Por P Q y R dibujamos paralelas a AB y BC respectivamente, que determinan con línea AC el triángulo A´B´C´. Fijamos el punto Q´que divide a AB en la misma razón que Q divide a A´B´ , y por Q´dibujamos líneas perpendicular y paralela a AC, que cortan a AC y BC en P´y R´respectivamente. Dibujamos R´S´ perpendicular a AC y que la corta en S´. Así , P´Q´R´S´es el cuadrado buscado, lo cual se demuestra fácilmente.