16.19 Los puntos de Brocard.

16.19 Los puntos de Brocard.
Muchas de las investigaciones que fueron hechas durante la última parte del siglo XIX referentes al triángulo giran alrededor de conceptos y relaciones sugeridas por dos puntos, con los cuales vamos a trabajar nosotros mismos ahora. En el triángulo ABC, vamos a considerar la circunferencia que pasa por A y es tangente a BC en B, la que pasa por B y s tangente a CA en C, y la que pasa por C y es tangente a AB en A. Si llamamos a Ω el segundo punto de intersección de las dos primeras circunferencias, tenemos que Ð BAΩ = ÐCB Ω =Ð ACΩ ; y de la igualdad del primero y el último de estos ángulos se sigue que la tercera circunferencia pasa también a través de Ω .
De manera semejante, considerando las tres circunferencias correspondientes , la primera de las cuales pasa a través de A y es tangente a BC en C, etc., encontramos un segundo Ω ´ tal que
Ð Ω´AC =Ð Ω´CB = Ð Ω´BA.
Hemos encontrado en esta forma dos puntos Ω y Ω´,c ada uno de los cuales tiene la propiedad de que, si se trazan líneas de los vértices del triángulo a ellos, los ángulos que estas líneas forman con los lados del triángulo son iguales. Se puede demostrar que solamente existen dos de estos puntos.
De estos dos puntos, Ω es llamado el punto positivo de Brocard y Ω´ es llamado el punto negativo de Brodcard del triángulo dado . Las líneas que unen los puntos de Brodcard a los vértices serán llamados rayos de Brodcard del triángulo, los que pasan por Ω son los primeros rayos de Brodcard y los que pasan por Ω´ los segundos rayos de Brodcard.
16.20 El ángulo de Brodcard. Unamos Ω a los vértices del triángulo y hagamos que BΩ corte a la exmediana por A en D. Entonces los puntos A, Ω,C, D son concíclicos. Ya que sí denotamos ÐCBΩ por ω, tendremos también ÐACΩ = ÐADΩ = ω . Más aún ,
Ð CΩA= ÐB +
ÐC , entonces ÐADC = ÐA y, por lo tanto, ÐDCA= Ð B . Entonces CD es la exsimediana por C, y tenemos el importante resultado:
La exmediana por A, el primer rayo de Brocard por B y la exsimediana por C son concurrentes.
Si DE y AF son dibujadas perpendiculares a BC (Fig. 47) el ángulo ECD = ángulo A. También

Denotando por ω´ el ángulo Ω´AC y observando la simetría de la última ecuación encontramos que cotω = cotω´ y de aquí que ω= ω´. Por lo tanto, los puntos de Brocard de un triángulo son puntos conjugados isogonales. El ángulo ω es llamado el ángulo de Brocard del triángulo.
5.21 Relaciones con medianas y simedianas. Aplicando el inverso del teorema de Ceva a las líneas concurrentes AD, BD y CD (fig.47), encontramos que
donde Ω _b es la intersección de BΩ con CA. También la simediana por C divide a AB en la razón b² / a² ; entonces la mediana por A, el primer rayo de Brocard por B, y la simediana por C son concurrentes.
16.22 Valor límite del ángulo de Brocard. Se demostrará que el ángulo de Brocard cuyo valor es cot ^-1 (Cot A+ Cot B + Cot C) es cuando más igual a 30° . Del hecho de que la suma de CΩb y Ω _bA es b y su razón , encontramos
Ahora, del triángulo BCΩ _b
Y por lo tanto el sen ω no puede ser mayor que ½. Entonces ω no excede de 30°.
Obviamente sen ω = ½ y ω = 30° cuando el triángulo es equilátero.
16.23 La circunferencia de Brocard y los triángulos de Brocard. La circunferencia cuyo diámetro es el segmento de línea que une el circuncentro de un triángulo y su punto simediano es la circunferencia de Brocard del triángulo.
Cada una de las perpendiculares OL, OM y ON del circuncentro a los lados del triángulo intersecan la circunferencia de Brocard en O. Sean los segundos puntos de intersección de estas líneas con las circunferencias, A´, B´, C´.
El triángulo A´B´C´ es conocido como el primer triángulo de Brocard.
También las simedianas AK, BK y CK intersecan la circunferencia de Brocard en K. Si A´´B´´C´´ son los segundos puntos de intersección de las simedianas con esta circunferencia, el triángulo A´´B´´C´´ es llamado el segundo triángulo de Brocard.
16.24 Los triángulos de Brocard están en la circunferencia de Brocard. Puesto que (fig. 48) el ángulo KAÓ es un ángulo recto KA´ es paralela a BC y las distancias de K y A´ a BC son iguales. Resultados similares se obtienen con respecto a los otros lados del triángulo, entonces
y por lo tanto los triángulos rectángulos BLA´, CMB´ y ANC´ son semejantes, de lo que se sigue que BA´, CB´ y AC´ se intersecan en Ω.
Para demostrar que Ω está en la circunferencia de Brocard observamos que Ð ΩAO´ = ÐΩCÓ, entonces los cuatro puntos Ω, O , A´, C, son concíclicos. Pero la circunferencia por los últimos tres de estos puntos es la circunferencia de Brocard. . Análogamente se puede probar que Ω´ también está en la misma circunferencia. Es el punto de intersección de CA´, AB´y BC´.
El Triángulo ΩOΩ´ es isósceles y su base ΩΩ´ es perpendicular al diámetro OK. Esto se sigue del hecho de que los ángulos iguales ΩC´O y OC´Ω´ subtienden en la circunferencia de Brodcard losa arcos iguales Ωº y OΩ´.


16.25 El primer triángulo de Brodcard. En la fig. 48 los ángulos A´ΩC´ y B´ΩA´ son iguales respectivamente a los ángulos B y C del triángulo dado. Pero ellos también son iguales a los ángulos B´ y C´ del triángulo A´B´C´. Entonces el primer triángulo de Brocard es semejante al triángulo dado.
El primer triángulo de Brocard está en perspectiva con el triángulo ABC, las líneas AA´, BB´, y CC´ resultan concurrentes. Esto puede ser probado aplicando el teorema de Ceva a estas líneas considerándolas como transversales que pasan por los vértices del triángulo ABC. Puesto que cada ángulo de la base de los triángulos isósceles semejantes A´BC, B´CA, CÁB es el ángulo de Brocard ω, tenemos

La multiplicación de estas dos ecuaciones da el resultado deseado. Se sigue por el teorema de Desargues , que los puntos de intersección de los lados correspondientes de estos dos triángulos, son colineales.

Si trazamos líneas por los vértices del triángulo dado, paralelas a los lados correspondientes del primer triángulo de Brocard, ellas se intersecarán en un punto de la circunferencia circunscrita, conocido como punto de Steiner. El punto de la circunferencia circunscrita diametralmente opuesto al punto de Steiner es llamado punto de Tarry. Es el punto de concurrencia de líneas por los vértices del triángulo, que son perpendiculares a los lados del primer triángulo de Brocard.
La concurrencia de las líneas antes mencionadas en el punto de Steiner es probada fácilmente. Sean AS y BS paralelas respectivamente a B´C´ y C´A´ (Fig. 49 ). Entonces Ð ASB = Ð B´C´A´= Ð ACB, y de aquí S esta en la circunferencia circunscrita. Obviamente las paralelas por C a A´B´ también pasan por S.
El que las perpendiculares a los lados del primer triángulo de Brocard que pasan por los vértices del triángulo dado pasan por el punto de Tarry, puede ser probado de una manera semejante.

16.26 Segundo triángulo de Brocard. Prolonguemos las simedianas del triángulo ABC hasta cortar la circunferencias circunscrita en P, Q y R (Fig. 50). El vértice A´´ del segundo triángulo de Brocard , que está en AK es el pie de la perpendicular de O a AK, puesto que el ángulo OA´´K está inscrito en una semicircunferencia. Por lo tanto A´´ es el punto medio de AP. Es decir , los vértices del segundo triángulo de Brocard bisecan las cuerdas de la circunferencia circunscrita al triángulo dado sobre la cual están sus simedianas.
Las siguientes relaciones se verifican fácilmente:
(a) Los cinco puntos B, T, C, O, A´´ son concíclicos, donde T es el punto de intersección de las tangentes a la circunferencia circunscrita en B y C. El centro de la circunferencia en la cual están es el punto medio de OT.
(b) Ð AA´´B = Ð CA´´A = 180° - Ð BAC.
(c) La circunferencia por A, B, A´´ es tangente a CA y la que pasa por C , A, A´´ es tangente a AB. Entonces de las seis circunferencias usadas en la sección 5. 19 para localizar los puntos de Brocard, las dos que son tangentes a dos lados del triángulo dado en un vértice común se intersecan nuevamente en el vértice correspondiente del segundo triángulo de Brocard.
16. 27 La primera circunferencia de Lemoine. Si se trazan paralelas a los lados de un triángulo por su punto simediano, los seis puntos en que cortan los lados del triángulo están en una circunferencia que es llamada la primera circunferencia de Lemoine del triángulo.

Sean las paralelas por el punto K trazadas y señaladas como se muestra en la Fig. 51. Entonces AQ₂KP₃ es un paralelogramo, Q2P3 es antiparalela a BC y asimismo a P1Q1 (Sección 5.15). Por lo tanto P1, Q1, P3, Q3, son concíclicos. Los ángulos P3Q2A son iguales al ángulo ACB; y de aquí se sigue que el trapezoide Q2P1Q3P3 es un trapecio. Por lo tanto, sus vértices son concíclicos. Entonces los seis puntos P1, Q1, P2, Q2,P3,Q3 están en una circunferencia.
La primera circunferencia de Lemoine y la circunferencia de Brocard son concéntricas : Puesto que Q2P3 es antiparalela a BC y, por tanto, es perpendicular a AO. Entonces la mediatriz de Q2P3 es paralela a AO y biseca a KO en N. Análogamente el punto N, que es el centro de la circunferencia de Brocard, está en la mediatriz de Q3P1. Entones N es también el centro de la primera circunferencia de Lemoine.
Por triángulos semejantes y por el hecho de que la simediana de un triángulo divide el lado al que es dibujada en la razón de los cuadrados de los lados adyacentes, obtenemos

Por lo tanto las cuerdas que la primera circunferencia de Lemoine determina en los lados del triángulo son proporcionales a los cubos de esos lados.
16. 28 La segunda circunferencia de Lemoine.
Una situación parecida a la descrita en la sección anterior existe, si, en lugar de las paralelas trazamos las antiparalelas a los lados por el punto simediano. Los seis puntos en los cuales estas antíparalelas cortan los lados, también están en una circunferencia que es llamada la segunda circunferencia de Lemoine del triángulo. Obviamente K es el punto medio de cada uno de los segmentos P1Q1, P2Q2, P3Q3 . También por el antiparalelismo, cada uno de los triángulos KQ1P3, KQ2P1 y KQ3P2 es isósceles. Entonces los seis puntos están en una circunferencia cuyo centro es K.
Después del hecho de que esta circunferencia corta los lados del triángulo en las extremidades de tres de sus diámetros, su propiedad más interesante, es de que las cuerdas que determina en los lados del triángulo son proporcionales a los cosenos de los ángulos opuestos. Debido a esta propiedad es llamada también la circunferencia de los cosenos del triángulo.
La primera circunferencia de Lemoine es llamad a menudo la circunferencia de Lemoine.