16.3 Propiedades que se refieren al incírulo y a los excírculos.

Teorema: El punto medio de un lado de un triángulo es también el punto medio del segmento determinado por los puntos de contacto de dicho lado con la circunferencia inscrita y la correspondiente excrita.

En ésta y en las siguientes discusiones señalaremos los lados BC, CA y AB del triángulo ABC con a, b, c , respectivamente . También s nos representara (a+b+c) /2 , el semiperíetro del triángulo . Entonces con notaciones como en la Fig. 33, se sigue que

AZ 1 = Y1 A; BZ1 = BX1 ; X1 C = Y1 C;
de aquí
AB + BX1 = X1 C + CA = s,
y
BX 1 = s-c.

También, puesto que
AB + XC = s,
XC = s -c,

Y por lo tanto BX₁ = XC. Restando XX , tenemos BX= X₁ C. Entonces el punto medio L de BC es también el punto medio de XX.
Teorema: El área de un triángulo es igual al producto del semiperíemtro y el radio del círculo excrito; es también igual al producto del semiperímetro disminuido en un lado y el radio del excírculo correspondiente.
En la fig 33, sean l e l₁, los centros de r y r₁ los radios del incírculo y del excírculo correspondientes al lado de BC, respectivamente . El área del triángulo IBC es ½ ar ; la del triángulo ICA es ½ br; y la del triángulo IAB es ½ cr. De donde
Δ = ½ r (a+b+c) = rs,
donde Δ es el área del triángulo ABC.
También observando que Δ es la suma de las áreas de los triángulos I₁AB e I₁CA, menos la del triángulo I₁CB, tenemos

Δ = ½ r₁ ( b+c-a) = r₁ (s-a).
Resultados similares se obtienen para cada uno de los otros excírculos.
Si llamáramos r₂ y r₃ a los radios de los otros dos excírculos , tenemos el
Corolario