Dos líneas que pasan por el vértice de un ángulo son líneas conjugadas isogonales, o más simplemente isogonales, con respecto a este ángulo, si la misma línea es bisectriz del ángulo dado y del ángulo formado por las dos líneas. Por ejemplo, la línea que une el vértice de un triángulo a su circuncentro y la altura por ese vértice, son isogonales con respecto al ángulo en ese vértice.
De fundamental importancia en la teoría de isogonales es el
Teorema: Si tres líneas, cada una por el vértice de un triángulo son concurrentes, sus isogonales con respecto a los ángulos del triángulo son concurrentes.
Sean AP, BQ y CR las isogonales de las líneas concurrentes AS, BS y CS respectivamente.
Por el teorema de Ceva
Puesto que AS y AP son isogonales , el ángulo BAS = ángulo PAC y el ángulo SAC = ángulo BAP. Resultados similares se obtienen para los otros pares de isagonales. De ésta y de la ecuación anterior tenemos
Y de aquí AP, BQ y CR son concurrentes.
Sea S´ su punto común. Entonces S y S´son llamados puntos conjugados isogonales del triángulo ABC. El ortocentro y el circuncentro son los puntos conjugados isogonales del triángulo. La bisectriz del ángulo interior de un triángulo es autoisogonal, y el incentro es su propio conjugado isogonal.
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