16.11 Circuncírculos de los triángulos determinados por un cuarilátero.

Teorema: Las circunferencias circunscritas de los cuatro triángulos cuyos lados son los lados de un cuadrilátero completo, tomados tres a un tiempo, tienen un punto en común.

Si son señalados los lados de un cuadrilátero por a, b, c y d; consideremos primero las circunferencias circunscritas a los triángulos abc y abd. Uno de los puntos comunes a estas circunferencias es el punto de intersección de las líneas a y b. Sea P su segundo punto común, y sean A, B, C y D los pies de las perpendiculares desde P a a, b, c ,d. Ahora las líneas de Simson de P con respecto a los triángulos abc y abd tienen a A y B como puntos comunes; entonces estas líneas coinciden y A, B, C y D son colineales. La aplicación del teorema inverso, enunciado en la sección 16.8, a los triángulos acd y bcd muestra que sus circunferencias circunscritas también pasan por el mismo punto P.