Introducción

Segmentos lineales dirigidos. La inclusión de los números negativos significó un adelanto notable en el sistema de los números del álgebra. Trajo consigo avances mayores de los que pudieron prever aquellos que tomaron parte en realizarlo.


Si en una línea recta (fig 1) tomamos dos puntos distintos A y B, ellos nos determinaran un segmento de línea. En geometría elemental nos referimos a este segmento como el segmento AB y usualmente estamos interesados nada más en su longitud. Podemos, sin embargo, asociar a la idea de este segmento , la idea de dirección. Así si la porción de línea entre estos dos puntos la imaginamos extendida de A y B, tenemos el segmento dirigido AB. Las magnitudes de los segmentos dirigidos AB y BA son las mismas, pero sus direcciones son opuestas. Esta diferencia en direcciones es análoga a la diferencia en signos de los números algebraicos y es convenientemente indicada por medio de tales signos.

En lo sucesivo, cuando hablemos de un segmento de línea, se entenderá un segmento dirigido, a menos que claramente se considere el segmento de línea no dirigido.

Relaciones entre segmentos líneales dirigidos. Los segmentos dirigidos AB y BA son, como se ha señalado anteriormente, iguales en magnitud, pero opuestos en dirección. Estos hechos están indicados en la ecuación
AB = -BA
O por la ecuación equivalente
AB +BA = 0
Si A, B y C son tres puntos diferentes en una línea recta,
AB + BC +CA = 0.
En el caso de que los puntos A y B coincidan, podemos considerar como si ellos determinaran un segmento AB de longitud 0. Todas las relaciones de esta sección son válidas cuando, debido a estas coincidencias alguno o todos los segmentos incluidos tienen longitud cero. Extensiones obvias de las relaciones anteriores son posibles cuando se consideran más de tres puntos en la línea recta.
Si A, B, C y D son cuatro puntos cualesquiera en una línea y consideramos los segmentos que determinan, tenemos la útil identidad siguiente, conocida como el teorema de Euler.
AB × CD + AC × DB + AD × BC = 0.
Esto se prueba haciendo notar que el miembro de la izquierda puede ser puesto en la Forma
(DB-DA) CD + (DC- DA) DB + (DC-DB)AD,
cuyo desarrollo y simplificación muestra cómo se anula.
La razón de la partición d un segmento de línea. Si P es un punto cualquiera en la línea AB (A distinto de B) ya sea entre A y B o externo al segmento AB, se dice que divide al segmento AB en la razón AP : PB. Si P está entre A y B divide al segmento internamente y la razón y la razón de partición es positiva; si está fuera del segmento AB divide al segmento externamente, y la razón de partición es negativa. Así en la Fig.2 los puntos P y Q dividen a AB interna y externamente en las razones AP: PB y AQ: QB respectivamente. Si P coincide con A o B, el segmento no esta propiamente dividido por P. Puede decirse entones que lo divide impropiamente, la razón de partición es cero o infinito según P coincida con A o con B. Puede hacerse una discusión para tratar el poco frecuente, pero importante caso en el cual el segmento tiene longitud cero.

Cuando cuatro puntos A, B, P y Q están situados de tal manera que P y Q dividen a AB interna y externamente en razones numéricas iguales, esto es:
AP: PB =- AQ: QB.
Entonces se dice que P y Q dividen al segmento AB interna y externamente en la misma razón.

Es fácil demostrar que si dos puntos dividen a un segmento de línea en razones iguales, los dos puntos coinciden.
Ángulos dirigidos. Es conveniente asociar la idea de dirección no sólo con los segmentos de línea sino también con los ángulos. El ángulo formado por las líneas OA y OB (Fig 3) puede ser generado por una línea en movimiento que gira con eje en O de la posición OA a la posición OB en el sentido opuesto al avance de las manecillas del reloj, o puede ser generado por rotación en el mismo eje de la posición OB a la posición OA en el sentido del avance de las manecillas del reloj. Si en cada una de estas rotaciones la misma porción de plano es barrida por la línea en movimiento los ángulos así generados son iguales, pero opuestos en signo. Cuando la rotación es en sentido contrario a las manecillas , el signo del ángulo resultante es, por convención considerado como positivo; y cuando la rotación es en el sentido de las manecillas, el signo del ángulo es negativo. De los dos ángulos descritos arriba, el positivo es designado ángulo AOB y el negativo como el ángulo BOA.

Podemos notar (Fig.3) que hay un ángulo positivo BOA así como un ángulo negativo BOA, a saber , la rotación de OB alrededor de O, en el sentido opuesto al de las manecillas que lleva a OB a coincidir con OA.

Podemos notar (Fig.3) que hay un ángulo positivo BOA así como un ángulo negativo BOA, a saber , la rotación de OB alrededor de O, en el sentido opuesto al de las manecillas que lleva a OB a coincidir con OA.
Con relación a su utilidad es frecuentemente ventajoso considerar el ángulo positivo AOB como la rotación de la línea completa OA alrededor de O, en sentido opuesto al de las manecillas, que por primera vez la lleva a coincidir con la línea completa OB (Figs 4a, b, c).

La utilidad de esta definición esta en parte en el hecho de que sirve para quitar ambigüedades. Por ejemplo, la muy conocida afirmación: si los lados de dos ángulos son paralelos respectivamente son iguales o suplementarios; es con esta convención: si los lados de dos ángulos son paralelos respectivamente los ángulos son iguales. Así , si en una prueba se asegura que dos ángulos son iguales porque son respectivamente paralelos, se entenderá que se refiere a ángulos dirigidos en el sentido explicado anteriormente. El estudiante deberá dibujar varias figuras para ilustrarse.
Se tiene también que tal definición identifica situaciones que en otros casos serían consideradas distintas, como esencialmente iguales. Como un ejemplo de esto, vemos que si usamos ángulos no dirigidos, la condición necesaria y suficiente para que cuatro puntos P, P´, A y B estén en una circunferencia estando P y P´ del mismo lado de la línea AB; es que el ángulo APB sea igual al ángulo AP´B (Fig.5) .Pero si P y P´ están en lados opuestos de AB, esta condición es que el ángulo APB sea el suplemento del ángulo AP´B. Cuando se usan ángulos dirigidos en la forma explicada anteriormente, las dos situaciones no son esencialmente diferentes y el resultado puede ser enunciado en la forma: la condición necesaria y suficiente para que cuatro puntos P, P´, A y B estén en una circunferencia es que los ángulos APB y AP´B sean iguales.

En las pruebas de algunos teoremas, se encuentran varios casos a los cuales hay que darles un tratamiento por separado si los ángulos incluidos son considerados como no dirigidos. Considerando ángulos dirigidos estos casos por separado, que aparentemente pueden parecer fundamente diferentes, se encuentra que son aspectos similares de uno y que pueden ser tratados juntos.

Será necesario el criterio del lector para determinar cuándo debe considerare un ángulo como dirigido o no, en alguno de los sentidos explicados anteriormente. Pero esto generalmente no es más difícil o incierto que cuando se debe decidir si el termino línea significa una línea curva o una línea recta, y si es una línea recta, cuándo es completa y cuándo es un segmento.

Una generalización importante. En geometría elemental encontramos el siguiente

Teoema: La bisectriz de un ángulo en un triángulo, divide el lado opuesto en segmentos cuya razón es la misma a la de los lados adyacentes del ángulo.

En algunos de los desarrollos subsecuentes haremos uso de lo siguiente, que es una generalización del teorema antes mencionado.
Teorema. Si el vértice A del triángulo ABC es unido a cualquier punto L en la línea BC, entonces

Esto puede ser probado aplicando la ley de los senos a los triángulos ABL, ALC (recordando en la Fig. 6a que, sen ALB= sen CLA). El estudiante deberá probarlo tomando especial cuidado en los signos algebraicos usados en los dos casos.



Correspondencia uno a uno (biunívoca). La idea de correspondencia biunívoca es fundamental en toda la estructura de las matemáticas. Para presentar esto, consideremos dos clases o conjuntos de objetos de cualquier tipo. Estos conjuntos se dice que están en correspondencia biunívoca cuando a cada objeto de un conjunto corresponde uno y sólo un objeto del otro conjunto. Esto implica un apareamiento de los dos conjuntos. Es indiferente como se realiza este apareamiento, siempre que dos objetos que pertenecen al mismo par sean tomados uno de cada conjunto, y cada objeto sea usado una vez y solo una.

Ejemplos. (a) Los vértices de un triángulo y sus lados pueden ser puestos en correspondencia biunívoca, apareando cada vértice con su lado opuesto.
(b)Si dos polígonos tienen el mismo número de lados, sus lados así como sus ángulos, pueden ser puestos en correspondencia biunívoca. Esta correspondencia es de importancia en el estudio de la similaridad de los polígonos y la usaremos en el siguiente capitulo.
(c)El conjunto de todas las líneas que pasan por O (fig.7) contenidas en el ángulo agudo AOB pueden ser puestas en correspondencia biunívoca con todos los puntos del segmento de línea AB que están entre A y B. Una manera en que esto puede ser realizado es asociar cada línea con el punto en que corta en AB.



Puntos al infinito. Consideremos (Fig.8 ) una línea AB y un punto O fuera de ella. Cualquier línea no paralela a AB y que pasa por O interseca a AB en un punto P y si esta línea gira con centro en O, el punto P se mueve a lo largo de AB. Más aún, cada punto de AB está determinado como la intersección de AB con una línea que pasa por O. Si el punto P de la línea AB es apareado con la línea OP se establece una correspondencia uno a uno entre los puntos de AB y las líneas que pasan por O, con la sola excepción de la línea que pasa por O y es paralela a AB.De acuerdo con la definición euclidiana estaos acostumbrados a considerar dos líneas paralelas como aquellas que no tienen ningún punto en común. Aunque este punto de vista puede ser más satisfactorio a nuestra intuición es lógicamente permisible y aun deseables, asociar la línea AB con un


punto ideal llamado punto al infinito, en AB, el cual tiene la propiedad de que la línea que pasa por O es paralela a AB, interseca con AB en este punto ideal. Si esto se realiza, la excepción antes mencionada desaparece, y podemos decir que cualquier línea del plano que pasa por O, interseca a la línea AB. Uno de los puntos de intersección es el punto al infinito en AB. Todos los puntos que restan son los puntos reales de la línea AB.
Se sigue que hay, en cada conjunto de líneas paralelas en el plano, uno y el mismo punto al infinito. Esto sugiere que el punto al infinito en una línea es lógicamente un equivalente de la dirección de esta línea. Ya que hay infinitud de direcciones en el plano, hay infinidad de puntos de puntos al infinito en el plano. El lugar geométrico de todos estos puntos al infinito, tiene la propiedad de ser intersecado por una línea recta arbitraria en uno y sólo un punto. Entonces este lugar geométrico queda definido como una recta ideal, la línea al infinito.
Volviendo al punto O y la línea AB, podemos ahora establecer una correspondencia biunívoca entre todas las líneas del plano que pasan por O y todos los puntos de AB, apareando cada línea con el punto en el cual intercepta AB. Inherente al perfeccionamiento de esta correspondencia es la utilidad de la noción de los puntos ideales y la línea ideal que han sido agregados a los puntos y líneas usuales del plano.
1.8 Hileras y haces. Puntos que están en la misma línea recta se dice que son colineales. Si ciertos puntos son colineales constituyen una hilera de puntos. La línea en la cual están situados es la base de la hilera.
Líneas que pasan a través de un mismo punto se dic que son concurrentes. Si un cierto número de líneas son concurrentes, constituyen un haz de líneas. Las líneas individuales del haz son frecuentemente llamados rayos, y el punto a través del cual pasan estas líneas es el centro o vértice del haz.
Un haz de líneas puede consistir en un conjunto de líneas paralelas. El vértice de dicho haz es el punto al infinito. Así también una hilera de puntos puede consistir en un número de puntos al infinito, en cuyo caso la base de la hilera es la línea al infinito.