16.13 Líneas isotómicas y puntos conjugados isotómicos

16.13 Líneas isotómicas y puntos conjugados isotómicos Sean P y P´ dos puntos en el lado BC del triángulo ABC tales que BP´ = PC. Entonces las líneas AP y AP son llamadas líneas isotómicas del triángulo.
Sean dibujadas por cada uno de los vértices de este triángulo , un par de líneas isotómicas, y sean tres de ellas, una de cada par, concurrente en el punto T. Se sigue inmediatamente por el teorema de Ceva, que las otras tres también son concurrentes. Si su punto de intersección es T´, entonces los puntos T y T´ son los puntos conjugados isotómicos del triángulo.
16.14 Simedianas y puntos simediano. Las líneas conjugadas isogonales de las medianas de un triángulo son sus simedianas. Puesto que las medianas son concurrentes, las simedianas también son concurrentes y su punto de intersección es el llamado punto simediano del triángulo. El punto mediano y el punto simediano son puntos isogonales conjugados del triángulo.
16. 15 Propiedades de las simedianas. Entre las propiedades de las simedianas de un triángulo , se dan algunas de las más importantes en los teoremas que siguen inmediatamente.
Teorema: El lugar geométrico de los puntos medios de las antiparalelas a BC con respecto a los lados AB y AC del triángulo ABC, es la simediana por A.
Sean AL y AL´ la mediana y la simediana por A, y sea PQ antiparalela ABC. Con los ángulos en A como se indica en la figura, tenemos, ya que BL = LC,

Y por las igualdades de los ángulos en A debidas a la isogonalidad

Combinando estos resultados se obtiene que PM= MQ.
Inversamente, sea M el punto medio de la antiparalela PQ. Entonces

Ahora x +y = α + β < x =" α,">Teorema: Las distancias de cualquier punto en una simediana a los lados de un triángulo concurrentes con esta simediana, son proporcionales a las longitudes de estos lados.
Sea P (fig. 43) un punto en la simediana por A, y sean d 1y d2 sus distancias a los lados como se muestra. Entonces Teorema. Los segmentos en los cuales divide una simediana el lado de un triángulo al cual es trazada, son proporcionales a los cuadrados de los lados adyacentes.
En la Fig. 43
Y puesto que
16.16 el punto simediano.Muchos de los avances en la geometría moderna del triángulo están íntimamente relacionados con su punto simediano. En seguida agrupamos algunas de las propiedades de este punto importante y más adelante en el capítulo indicaremos las direcciones que han tomado algunos de estos avances.
Es obvio que el punto simediano siempre está dentro del triángulo. Como hemos señalado anteriormente , es el conjugado isogonal del punto mediano.
Del segundo teorema e la sección anterior, deducimos el hecho de que las distancias del punto simediano a los tres lados del triángulo, son proporcionales a estos lados . También se puede probar que es el punto dentro de triángulo para el cual la suma de los cuadrados de sus distancias es el mínimo.

Si son bajadas perpendiculares del punto simediano K a los lados del triángulo, los pies son los vértices de un triángulo del cual K es su punto mediano.
Prolongue la mediana AL al doble de su longitud, hasta A´ y trace CA´, y encuentre la intersección, K´ de XK con YZ (fig44). Entonces los triángulos ACA´ y YKZ son semejantes , porque sus ángulos en C y K son iguales, cada uno es el suplemento del ángulo BAC, y los lados que contienen estos ángulos son proporcionales. Más aún puesto que los ángulos ACL y YKK´ son iguales, las líneas CL y KK´, son líneas correspondientes en estos triángulos , de lo que se sigue XK´ es una mediana de XYZ. Similarmente las otras dos medianas pasan por K.

16. 17 Propiedades armónicas. En la Fig. 45, sea AL´´ la tangente en A de la circunferencia circunscrita del triángulo ABC del cual K es el punto simediano. Entonces por la semejanza de los triángulos AL´´B y CL´´A encontramos que
Y puesto que L´ divide el segmento BC internamente en la razón AB² / AC², se infiere que este segmento es dividido armónicamente por L´ y L´´ . Entonces el haz A (BCL´L´´) es un haz armónico. La simediana BM´ es una transversal de este haz y si su intersección con AL´´ es el punto S, entonces S es el conjugado armónico de K con respecto a B y M´.
En una forma similar se puede demostrar que la tangente en C también corta la simediana por B en el punto S. De esta manera la línea que une un vértice de un triángulo con la intersección de las tangentes por los otros dos vértices es la simediana por ese vértice. Esto da una construcción conveniente para las simedianas.
Si se une el punto medio M de CA con B, K y S, obtenemos el haz armónico M ( BM´KS). Ahora la altura BE es paralela al rayo MS del haz , y por lo tanto MK interseca BE en su punto medio S´. En otras palabras, la línea que une el punto medio de un lado de un triángulo con el punto medio de la altura bajada a este lado, pasa por el punto simediano del triángulo. Esto nos lleva a una construcción simple del punto simediano sin construir las simedianas.
16.18 Exsimedianas y exmedianas . La importancia de las tangentes de las circunferencias circunscritas de un triángulo por sus vértices se señala claramente en la discusión anterior. De acuerdo con su relación a las simedianas, estas tangentes son llamadas las exsimedianas del triángulo, y los puntos en los cuales se intersecan dos a dos son llamados sus puntos exsimedianos. De esta manera podemos enunciar uno de los resultados importantes de la sección 16 .17 como sigue:
Dos exsimedianas cualquiera y la tercera simediana de un triángulo son concurrentes en uno de sus puntos exsimedianos,
Igualmente, las líneas paralelas a los lados de un triángulo por los vértices de éste son llamadas las exmedianas del triángulo y los puntos de intersección dos a dos son llamados los puntos exmedianos . Dos exmedianas cualesquiera y la tercera mediana de un triángulo son concurrentes en uno de sus puntos exmedianos. Existen obvias relaciones armónicas con relación a las medianas , exmedianas, punto mediano y puntos exmedianos, análogas a las señaladas en la sección inmediata anterior.