17 Circunferencias Coaxiales

17.1 Potencia de un punto. Si P es un punto cualquiera en el plano de una circunferencia dada, y una línea por P interseca la circunferencia en A y B, el producto de los segmentos PA y PB es constante. Esta propiedad característica de una circunferencia nos lleva a la formulación de la
Definición : La potencia de un punto con respecto a una circunferencia, es el producto de sus distancias a cualquier par de puntos en la circunferencia que sean colineales con él.
Se sigue que la potencia de un punto es negativa , cero o positiva de acuerdo si el punto esta dentro, en o fuera de la circunferencia. Es también fácil verificar que, para cualquier posición de P, su potencia con respecto a una circunferencia cuyo centro es O y cuyo radio es r, es PO2 -r2 .
Si P está fuera de la circunferencia su potencia es igual al cuadrado de la longitud de una tangente de él a la circunferencia.
Un punto puede ser visto como una circunferencia de radio cero. Tal circunferencia es llamada circunferencia nula o circunferencia puntual. La definición anterior , propiamente interpretada, es aplicable a tal circunferencia. Entonces la potencia del punto P con respecto a una circunferencia nula O es PO2.
17.2 Eje radical. El eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de un punto cuyas potencias con respecto a las dos circunferencias es igual.
Para demostrar que el lugar geométrico definido anteriormente es una línea recta, vamos a considerar primero dos circunferencias no concéntricas cuyos centros son O y O´ y cuyos radios son r y r´. Por P, un punto que tiene la misma potencia con respecto a estas circunferencia , dibujamos PM perpendicular a la línea de los centros OO´. Entonces
Ahora solo hay un punto M en OO´ que satisface estas relaciones. Si N es un punto cualquiera semejante, tenemos

OM –MO´= ON –NO´;
Esto es
ON-MN –MO´= ON + MN –MO´ ,
Y entonces MN = 0; es decir , N coincide con M.
Por lo tanto, si un punto tiene potencias iguales con respecto a las dos circunferencias O y O´, está en una perpendicular a la línea de sus centros. Inversamente, se puede demostrar invirtiendo los primeros pasos de la discusión anterior, que , si P está en a perpendicular a OO´, en M, sus potencias con respecto a estas circunferencias son iguales.
Si los centros de dos circunferencias de radios desiguales se aproximan, el punto M se aproxima al punto al infinito en OO´ y la línea MP tiende a la línea al infinito. Así que el eje radical de dos circunferencias concéntricas desiguales se define como la línea al infinito. El eje radical de dos circunferencias iguales concéntricas, se dejara indefinido, y cualquier anunciado acerca del eje radical no es aplicable a tales circunferencias. Si dos circunferencias se intersecan, su eje radical pasará por sus puntos comunes. Si dos circunferencias s intersecan, su eje radical pasará por sus puntos comunes. Si son tangentes una a la otra, es su tangente común en el punto de contacto.
17.3 Centro radical.
Teorema: Los ejes radicales de tres circunferencias tomadas por pares son concurrentes. Consideremos primero, tres circunferencias, cuyos centros no son colineales y sea P la intersección del eje radical de la primera y segunda con el de la segunda y tercera. Entonces P tendrá potencias iguales con respecto a las tres circunferencias, y entonces el eje radical de la primera y tercera también pasará por P.
Si los centros de las tres circunferencias son colineales, los ejes radicales son paralelos y distintos , o dos de ellos coinciden y la línea común es paralela al tercero, o los tres coinciden. En cada uno de estos casos especiales, las líneas son concurrentes en un punto al infinito.
El punto de concurrencia de tres de los ejes radicales de tres circunferencias tomadas por pares, es llamado su centro radical.
17.4 Construcción del eje radical El eje radical de dos circunferencias no concéntricas puede ser construido como sigue:
Dibujemos una circunferencia cualquiera que corte las circunferencias dadas en A, A´ y B, B´ respectivamente. Por P, la intersección de AA´ y BB´, dibujamos la perpendicular a la línea de los centros de las circunferencias dadas. Esta perpendicular es el eje radical requerido como se puede comprobar fácilmente.
17.5 Circunferencias ortogonales a dos circunferencias.
Teorema: El centro de una circunferencia que corta a dos circunferencias ortogonalmente, está en el eje radical de estas últimas; y si una circunferencia cuyo centro está en el eje radical de dos circunferencias, es ortogonal a una de ellas, es también ortogonal a la otra.
Si P es el centro de una circunferencia que es ortogonal a las circunferencias O y O´, tenemos de los triángulos rectángulos PAO y O´A´P.
De esta manera P tiene potencias iguales con respecto a las circunferencias O y O´ y está en su eje radical.
En seguida, dejemos a P en el eje radical de las circunferencias O y O´ y hagamos que la circunferencia P corte ortogonalmente la circunferencia O. De la igualdad de las potencias de P y del hecho de que el ángulo OAP es recto, se sigue que el ángulo PAÓ´ también es recto y la circunferencia P es ortogonal a la circunferencia O´.
De acuerdo con su importancia en lo siguiente, probaremos enseguida estos dos teoremas:
Teorema: Todas las circunferencias que cortan ortogonalmente a dos circunferencias que no se intersecan la línea de sus centros en los mismos dos puntos.
Teorema: Una circunferencia que corta ortogonalmente a dos circunferencias que se intersecan, no interseca la línea de sus centros.
Para probar el primero de estos teoremas, nos referiremos a la Fig.55 y observando que, puesto que las circunferencias O y O´ no se intersecan , OM es mayor que el radio OA, entonces PM es menor que PA y, por lo tanto, la circunferencia P interseca OO´ en L y L´.
Entonces

Y
Esta ecuación nos muestra que la posición de L es independiente de la de P. Por lo tanto cualquier circunferencia ortogonal a O y O´ pasa por L. Asimismo cualquiera de estas circunferencias pasa por L y LL´ es bisecada por M.
Si las circunferencias O y O´ se intersecan , el punto M está dentro de ambas, OM es menor que el radio OA, PM es mayor que PA, y la circunferencia P no interseca OO´.
17.6 Ejes radicales del incírculo y excírculos.
Teorema: El eje radical de la circunferencia inscrita y de las circunferencias excritas de un triángulo tomadas por pares, son las bisectrices de los ángulo del triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados del triángulo dado.
Daremos las prueba para la circunferencia inscrita y para una de las excritas . Refiriéndonos a la Fig. 33, en la cual, L, M, N, son los puntos medianos de los lados, observamos que e eje radical de las circunferencias I e I 1 pasa por L , puesto que este punto tiene la misma potencia con respecto a cada una de estas circunferencias. También es perpendicular a II1, la bisectriz del ángulo interior A. Ahora la bisectriz del ángulo interior A, es paralela a la bisectriz del ángulo exterior en L, del triángulo LMN. Puede ser demostrado fácilmente que la bisectriz del ángulo interior en L es l eje radical de as otras dos circunferencias excritas.
De esta manera vemos que el centro radical de tres circunferencias excritas es el incentro del triángulo LMN, mientras que el de dos de sus excírculos y el incírculo es uno de sus excentros. Puesto que estas circunferencias no se intersecan, todos los centros radicales están fuera de las circunferencias. Los cuatro centros radicales forman un grupo ortocéntrico de puntos. 17.7 Circunferencias coaxiales. Si un conjunto de circunferencias es tal que la misma línea es eje radical de todo par, se dice que las circunferencias son coaxiales. El eje radical de los pares de circunferencias se llama eje radical del conjunto coaxial.
Obviamente, los centros de las circunferencias de un conjunto coaxial son colineales. También si dos de ellas se intersecan, cualquier circunferencia del conjunto pasa a través de los mismos dos puntos. De otro modo no habría dos circunferencias del conjunto que se intersecaran. Es además inmediato que el eje radical de un conjunto de circunferencias coaxiales es el lugar geométrico de los puntos cuyas potencias con respecto a todas las circunferencias del conjunto son iguales.
Dos circunferencias distintas pueden pertenecer solamente a un conjunto coaxial; y dos circunferencias distintas determinan siempre, de modo único a un conjunto de circunferencias que son coaxiales con ellas. Además , si dos puntos diferentes tienen iguales potencias con respecto a tres o más circunferencias, las circunferencias son coaxiales.
Por la sección 17.5 se sigue que, si una circunferencia corta a dos circunferencias de un conjunto coaxial ortogonalmente, cortará a todas las circunferencias del conjunto tamién ortogonalmente.

17.8 Circunferencias coaxiales que se intesecan. Si una circunferencia de un conjunto coaxial corta al eje radical en dos puntos, entonces toda circunferencias del conjunto pasa a través de los mismos dos puntos y la línea de los centros es mediatriz de la cuerda común. De acuerdo con que r sea menor que, igual a , o mayor que la mitad de la longitud de la cuerda común , existe : ninguna circunferencia, una circunferencia o dos circunferencias del conjunto que tengan a r como su radio,
De la discusión de la sección 7.5 obtenemos de inmediato:
Teorema: Todas las circunferencias que son ortogonales a dos circunferencias que no se corten, pertenecen a un conjunto coaxial de circunferencias que se intersecan cuya línea de los centros es el eje radical de las dos circunferencias.
17.9 Circunferencias coaxiales que no se intersecan. El eje radical de un conjunto de circunferencias coaxiales puede no intersecar a estas circunferencias, en cuyo aso ninguna de las circunferencias cortará a otra. Sean dos circunferencias cuyos centros son O y O´ (Fig. 56) dos circunferencias de tal conjunto, y sea M el punto en el que el eje radical corta a la línea de los centros. Trácense las tangentes MP y MP´a las dos circunferencias, y , trácese una circunferencia que corta a la línea de los centros en L y L´. Esta circunferencia es ortogonal a cada una de las circunferencias dadas en consecuencia también ortogonal a cada una de las circunferencias coaxiales del conjunto que determinan las dos primeras.
Como la tangente en P a la circunferencia M pasa a través de O, vemos que las otras circunferencias del conjunto pueden construirse del modo siguiente:
En cualquier punto S de la circunferencia M trácese su tangente y sea O´´ la intersección de esta tangente con la línea de los centros. La circunferencia con centro en O´´ y O´´S como radio es una circunferencia del conjunto. Además, para cada r mayor o igual a 0 hay dos circunferencias del conjunto que tienen a r como radio. A L y L´ las circunferencias puntuales del conjunto se les denomina puntos limites, Ninguna de las circunferencias coaxiales tiene como centro a un punto interior del segmento LL´.
17.10 Relación con las circunferencias de Apolonio.
Teorema : Cada una de las circunferencias de un conjunto coaxial de circunferencias ajenas , es decir, que no se intersecan es una circunferencia de Apolonio con respecto a los puntos límites del conjunto.
Para probar esto, sean ( Fig. 56) B y B´ los puntos en que la circunferencia O, una circunferencia arbitraria del conjunto ,corta a la línea de los centros. Como las circunferencias cuyos diámetros son LL´ y BB´ son ortogonales , los puntos L y L están separados armónicamente por B y B´ . En consecuencia, la circunferencia de Apolonio que es el lugar geométrico de los puntos cuya razón de distancias a L y L´ tiene el valor LB : L´B , pasa por B y B´ como extremidades de un diámetro, puesto Que sólo hay una circunferencia con BB´ como diámetro , la circunferencia O es la circunferencia de Apolonio con respecto a L y L´.
17.11 Sistemas de circunferencias ortogonales. Se concluye a partir del teorema de la sección 6.8 que toda circunferencia que interseca a cada una de las circunferencias de un conjunto coaxial cuyos elementos son nuevamente ajenos, y que lo hace ortogonalmente, pertenece a un conjunto coaxial de circunferencias que se intersecan cuya línea de los centros es el eje radical del primer conjunto. Además , las circunferencias que son ortogonales a cada una de las circunferencias de un conjunto coaxial cuyos elementos se cortan, tienen sus centros en el eje radical del primer conjunto. Se mostrará enseguida que estas circunferencias ortogonales formaran un conjunto coaxial.
Consideremos cualquier circunferencia del gruó que se interseca. Las tangentes desde su centro a las circunferencias que la intersecan ortogonalmente son sus radios y por lo tanto son iguales. De esta manera su centro tiene iguales potencias con respecto a las circunferencias ortogonales a ella, de lo que se sigue que las últimas son coaxiales, con la línea de los centros del otro conjunto como eje radical. Ninguna de estas circunferencias interseca su eje radical, y por ningún par de circunferencias del conjunto se cortan entre sí.
Estos resultados pueden resumirse como sigue:
Sean A y B puntos diferentes en el plano. Entones existen dos conjuntos de circunferencias coaxiales que tienen las siguientes propiedades:
(1) Las circunferencias de un conjunto tienen la línea como eje radical ; cada una de estas circunferencias pasa por A y B y la mediatriz de AB es la línea de sus centros.
(2) Las circunferencias del otro conjunto que es del tipo sin intersecciones, tienen como eje radical la mediatriz de AB; los puntos A y B son los puntos límites ; y la línea AB es la línea de los centros.
(3) Una y sólo una circunferencia de cada conjunto pasa por cada punto finito del plano distinto a A y B.
(4) Cada circunferencia de un conjunto interseca ortogonalmente todas las circunferencias el otro conjunto, Los dos conjuntos forman una red ortogonal de circunferencias en el plano.
17.12 Aplicación al cuadrilátero completo. Como una aplicación de la teoría de circunferencias coaxiales, probaremos el siguiente
Teorema: Las circunferencias cuyos diámetros son las diagonales de un cuadrilátero completo, son coaxiales; los ortocentros de los cuatro triángulos determinados por los cuatro lados del cuadrilátero tomados tres a un tiempo son colineales , y los puntos medios de las diagonales son colineales.
En el cuadrilátero completo de lados p, q, r, s (Fig. 58), sea H, el ortocentro del triángulo ABC y sean A´, B´, C´ los pies de las alturas por A, B , C respectivamente. Puesto que A, C, C´, A´ y B, C, C´ , B´ son conjuntos de puntos concíclicos.
H1A × H1A´ = H1B × = H1B ´ =
H1C × H1C´.

Ahora AA´, BB´, CC´, son cuerdas de las circunferencias que tienen como diámetros a AF, BE y CD respectivamente y por las ecuaciones anteriores H1 tiene la misma potencia con respecto a cada una de estas circunferencias, De la misma manera se puede demostrar que los ortocentros de los triángulos ADE, BDF, CEF, tienen cada uno iguales potencias con respecto a estas tres circunferencias. Se sigue que las tres circunferencias son coaxiales; que los cuatro ortocentros están en el eje radical; y que sus centros, a saber, los puntos medios de las diagonales, están en una línea recta. Más aún, la línea en la cual están los cuatro ortocentros, es perpendicular a la línea que pasa por los puntos medios de las diagonales.