19. Polos y Polares

19.1 Definiciones . Sean P y P´ dos puntos inversos cualesquiera con respecto a una circunferencia dada de centro O. La línea que pasa por P´ y que es perpendicular a PP´ es la línea polar de P o simplemente la polar de P con respecto a la circunferencia.
También el punto P es llamado el polo de la línea P.

Es evidente que la polar de un punto interseca la circunferencia, es tangente a la circunferencia en el punto, o no interseca a la circunferencia, de acuerdo con que el punto esté fuera, en, o dentro de la circunferencia.
Cuando P está fuera de la circunferencia, se pueden dibujar dos tangentes de él a las circunferencia. Si A y B son los puntos de contacto de estas tangentes, las línea AB es la cuerda de contacto del punto P. Es fácil demostrar que la cuerda de contacto de un punto exterior es la polar de ese punto con respecto a la circunferencia.
La polar del centro de la circunferencia se define como la línea al infinito, y el polo de un diámetro es un punto al infinito. Con respecto a una circunferencia dada, la relación polo y polar, establecen una correspondencia biunívoca entre todos los puntos y todas las líneas del plano.
19.2 Teorema fundamental .
Teorema: Si con respecto a una circunferencia dada, la polar de P pasa por Q, entonces la polar de Q pasa por P.

Por hipótesis , la perpendicular a OP en P´, el inverso de P, pasa por Q. Si ahora Q´ es el inverso de Q, las líneas PQ´ y P´Q, son antiparalelas con respecto a OP y OQ, y entonces PQ´ es perpendicular a OQ; es decir , la polar de Q pasa por P.
Tenemos también el

Corolario: Si p y q son líneas tales que, con respecto a una circunferencia dada, el polo de p está en q, entonces el polo de q está en p.
Se concluye que las polares son una hilera de líneas de un haz y que los polos de las líneas de un haz son los puntos de una hilera.
Dos puntos que tienen la propiedad de que la polar de uno pasa por el otro, son puntos conjugados; y dos líneas , que sean de modo que el polo de cada una este en la otra. Son líneas conjugadas . Cada punto de una línea dada, tiene un punto conjugado en tal línea, a saber. El punto en el cual la línea es cortada por la polar del punto. Asimismo, cada línea por un punto dado, tiene una línea conjugada por ese punto.
Lo siguiente es obvio:
(a) De dos puntos conjugados distintos en una línea que corte la circunferencia, uno está dentro y el otro está fuera de la circunferencia.
(b) De dos líneas distintas conjugadas que se corten fuera de la circunferencia, una corta la circunferencia y la otra no.
(c) Cualquier punto en la circunferencia es conjugado de todos los puntos de la tangente en ese punto.
(d) Cualquier tangente a la circunferencia es conjugada a todas las líneas por su punto de contacto.
19.3 Relaciones armónicas. La teoría de polos y polares, esta íntimamente relacionada con la teoría de división armónica . Alguna de esas relaciones se indican en los teoremas que siguen.
Teorema: Si, con respecto a una circunferencia dada, dos puntos conjugados están en una línea que interseca la circunferencia, están separados armónicamente por los puntos de intersección.

Sean A y B dos de tales puntos (Fig.69) y sea A´ el inverso de A. Entonces A´B es la polar de A. Puesto que la circunferencia con AB como diámetro, pasa por A´, es ortogonal a la circunferencia dada y A y B están armónicamente separados por los puntos en los cuales su línea interseca la circunferencia.
Hemos visto entonces, que si una línea variable por un punto dado, interseca una circunferencia, los conjugados armónicos del punto con respecto a las intersecciones de la línea y la circunferencia, están todos en la polar del punto.
Teorema: Si, con respecto a una circunferencia dada, dos líneas conjugadas se corten fuera de dicha circunferencia, están separadas armónicamente por las tangentes desde su punto de intersección.

Sean a y b líneas conjugadas que se intersecan en S, un punto fuera de la circunferencia, y sean las tangentes p y q trazadas de S a la circunferencia, siendo los puntos de tangencia P y Q (Fig. 70). También la línea PQ interseca a a y b en los puntos A y B.
Entonces PQ, la polar de S, pasa a través de B , y por lo tanto la polar de B pasa por S. También puesto que el polo de b es un punto de C en a, la polar de C pasa por B y consecuentemente la polar de B pasa por C. Ahora, como S está en b, C es distinto S. Por lo tanto a es la polar de B, A y B son puntos conjugados, la hilera ABPQ es armónica y el haz a,b,p,q es armónico.

Teorema: Si cuatro puntos en una línea son armónicos, sus polares con respecto a una circunferencia dada también son armónicos.
Sean A, B, C, D los puntos armónicos dados (Fig. 71). Sus polares a,b,c,d, pasan por S, el polo de la línea en la cual están estos puntos. Y como cada polar es perpendicular a la línea que une su polo con el centro de la circunferencia , el ángulo entre dos líneas cualesquiera del haz O ( ABCD) es igual al ángulo entre las líneas correspondientes del haz, a,b,c,d. Se infiere que el haz es armónico.
19.4 Relación con un cuadrángulo inscrito. Sean A,B,C,D los vértices de un cuadrángulo completo inscrito en una circunferencia, y supongamos que los pares de lados opuestos se intersecan en los puntos P,Q,R como se indica en la Fig. 72.
Como el haz P ( TT´RQ) es armónico, la línea PR interseca a NC en el conjugado armónico , de Q con respecto a B y C. Asimismo interseca a AD en el conjugado, de Q con respecto a A y D. Por lo tanto, PR es la polar de Q. Análogamente QR es polar de P ; y por el teorema fundamental PQ es la polar de R. Así cada lado del triángulo diagonal es la polar de vértice opuesto. También Q y R están separados armónicamente por los dos pares de puntos S, S´ y T, T´.
Más aún si se trazan tangentes en B y C, su punto de intersección L está en PR. Puesto que la polar de L es BC y pasa por Q. De aquí PR, la polar de Q, pasa por L. De manera similar las tangentes por dos vértices cualesquiera del cuadrángulo se intersecan en la polar del vértice del triángulo diagonal que está en el lado que pasa a través de los puntos de tangencia.
De aquí obtenemos el
Teorema: Si los vértices de un cuadrángulo completo están en una circunferencia , y los lados de un cuadrilátero completo son tangentes a la circunferencia en los vértices del cuadrángulo, los seis vértices del cuadrilátero están por pares en los lados del triángulo diagonal del cuadrángulo.
El lector deberá dibujar una figura para ilustrar este teorema.
Una construcción lineal para la polar de un punto P que no está en la circunferencia, es una consecuencia de las relaciones presentadas arriba. Por P trazamos dos secantes, una de las cuales corta la circunferencia en A y B, la otra en C y D. Si Q es la intersección del AD con BC , y R la intersección de AC con BD, entonces QR es la línea buscada. Si P.
Si P está en la circunferencia, su polar, es decir, la tangente en P, puede ser construida con regla solamente. Para hacer esto trazamos cualquier secante por P, determinamos Q, su polo y trazamos PA, que es la línea buscada.
19.5 Principio de dualidad. Se dijo al final de la sección 19.1 que por medio de la relación de polos y polares con respecto a una circunferencia, se establece una correspondencia biunívoca entre todos los puntos y todas las líneas del plano. Estamos ahora en condiciones de ver lo que el principio de dualidad produce en esta relación. (Sección 15.13)
Desde el punto de vista de dualidad, una curva puede ser vista, por un lado como un conjunto de puno, y por otro como un conjunto de líneas ,a saber, la familia de líneas de la cual la curva es la envolvente. Así, punto en una curva y línea tangente a una curva , son elementos duales, y a cualquier teorema proyectivo que incluya uno o ambos de estos elementos, le corresponde un segundo teorema, que es su dual.

La discusión de la sección anterior, indica que toda la teoría de polos y polares, puede ser referida a la teoría de cuadrángulos completo inscritos y cuadriláteros completos circunscritos , de modo de librarla completamente de relaciones métricas. Cuando esto se realiza, es palpable que la dualidad mencionada anteriormente, existe, que el dual de un punto es su línea polar y que el dual de una línea es el polo de dicha línea . Así por ejemplo ,el teorema y el corolario de la sección 19.2, son duales el uno del otro. El lector deberá examinar todas las discusiones que siguen refiriéndose al principio de dualidad.
19.6 Triángulo autopolar. Un triángulo es autopolar o autoconjugado con respecto a una circunferencia, cuando cada vértice es el polo de lado opuesto. Las siguientes propiedades de un triángulo autopolar, cuyos vértices son todos puntos finitos, pueden ser fácilmente demostradas.
(a) Su ortocentro es el centro de la circunferencia.
(b) Uno y sólo uno de sus vértices está dentro de la circunferencia.
(c) El ángulo del triángulo cuyo vértice está dentro e la circunferencia es obtuso.

Un triángulo autopolar puede ser construido tomando un vértice arbitrariamente, un segundo vértice en la polar del primero, y el tercero en la intersección de las polares de los otros dos.

19.7 Circunferencia polar. Hay un número infinito de triángulos autopolares con respecto a una circunferencia dada, sin embargo, hay cuando más una circunferencia respecto a la cual un triángulo dado sea autopolar. Para que exista una tal cual circunferencia, el triángulo debe ser obtusángulo. Cuando tal circunferencia existe, se llama circunferencia polar del triángulo.
La circunferencia polar del triángulo obtusángulo ABC, puede ser construida, dibujando la circunferencia de centro en O y cuyo radio es la media proporcional de OA y OD, donde O es el ortocentro del triángulo y D es el pie de la altura por A.
Puesto que un vértice del triángulo y el pie de a altura que pasa por él, son inversos con respecto a la circunferencia polar, cualquier circunferencia que tenga una altura del triángulo como cuerda es ortogonal a la circunferencia polar el triángulo. Ejemplos particulares de tales circunferencias, ortogonales a la circunferencia polar, son las circunferencias con los lados del triángulo como diámetros.

19.8 Circunferencias polares del triángulo de un grupo ortocéntrico. Tres de los cuatro triángulos de un grupo ortocéntrico son obtusángulos.

En la Fig, 74 , el cuadrángulo del grupo es tal que los triángulo DAB, DBC y DCA son obtusángulos en D. Sean r ₁ , r ₂, y r₃ los radios de las circunferencia polares C,A,B de estos triángulos respectivamente. Entonces

demostrando que las circunferencias B y C son ortogonales.
Puesto que A r₁ y Cson puntos inversos con respecto a la circunferencia B,A ₁ ,A es la polar de C referente a tal circunferencia y es fácil ver que pasa c0on los puntos comunes a las circunferencias B y C.
De aquí tenemos el
Teorema: Las circunferencias polares de tres triángulos obtusángulos de un grupo ortocéntrico son ortogonales en pares, y sus puntos de intersección están en los tres lados del cuadrángulo que pasan por el vértice común de los ángulos obtusángulos.

18 Inversión

18.1 Puntos inversos. Si P y P´ son dos puntos colíneales con el centro O de una circunferencia, cuyo radio es r > 0 de tal forma que OP x OP ´= r² , cada uno de los puntos P y P´es inverso del otro con respecto a la circunferencia. El punto O es el centro de inversión , la Circunferencia O es la circunferencia de inversión , y su radio es el radio de inversión.
La relación es simétrica, es decir, si P´es el inverso de P, entonces P es el inverso de P´. De acuerdo con esta simetría, se dice que los puntos P y P´, son puntos inversos con respecto a la circunferencia. Los hechos siguientes son obvios:
Con respecto a una circunferencia dada:
(a) Cada punto en el plano excepto el centro, tiene un solo inverso.
(b) Un punto en la circunferencia de inversión es su propio inverso.
(c) De dos puntos inversos distintos, uno está dentro de la circunferencia de inversión y el otro fuera.
18.2 Curvas inversas. Sean P y P´ dos puntos inversos con respecto a una circunferencia de centro O, y supongamos que P se mueve de tal forma que traza una curva cualquiera. Entonces P´ también trazara una curva. Estas curvas son por definición una inversa de la otra; o se dice que son mutuamente inversas.
De esta manera el inverso de una circunferencia cuyo centro es el centro de inversión , es una circunferencia concéntrica con la circunferencia dada. En particular, si una circunferencia coincide con la circunferencia de inversión, es su propia inversa. Asimismo también es evidente, que una línea recta por el centro de inversión es su propia inversa.
Si dos curvas inversas se intersecan, todos sus puntos de intersección, están en la circunferencia de inversión. Inversamente, si una de dos curvas inversas interseca la circunferencia de inversión , la segunda interseca a ésta en el mismo punto.
18. 3 Circunferencia que pasa por puntos inversos.
Teorema: Cualquier circunferencia que pasa por un par de puntos inversos distintos, es su propia inversa y es ortogonal a la circunferencia de inversión; e inversamente , cualquier circunferencia que es ortogonal a la circunferencia de inversión es su propia inversa.

Sean P y P´ puntos inversos con respecto a la circunferencia de centro O, y PP´ corte la circunferencia de inversión en A y A´. Entonces puesto que OP × OP = (OA)² , los puntos A y A´ son conjugados armónicos con respecto a P y P´. De aquí, cualquier circunferencia por P y P´ e ortogonal a la circunferencia O. (sección 15.10)

Invirtiendo los pasos del razonamiento anterior, demostrando que, si una circunferencia dada es ortogonal a la circunferencia O, el inverso de cualquiera de sus puntos P con respecto a O, es el punto P´ donde OP interseca nuevamente la circunferencia dada. Entonces, al recorrer P la circunferencia en que está P´ traza la misma circunferencia.
Podemos resumir algunos resultados de esta sección y de la anterior observando que las siguientes son sus propios inversos con respecto a una circunferencia dada de inversión.
(a) La circunferencia de inversión.
(b) Líneas rectas por el centro de inversión
(c) Circunferencias ortogonales a la circunferencia de inversión.
18.4 El inverso de una línea recta.
Teorema: El inverso de una línea recta que no pasa por el centro de inversión, es una circunferencia por el centro de inversión, y recíprocamente, el inverso de una circunferencia de radio finito* que pasa por el centro, de inversión , es una línea recta que no pasa por el centro de inversión. Más aún, la línea recta es perpendicular al diámetro de la circunferencia que pasa por el centro de inversión.

Si A es el pie de la perpendicular desde el centro de inversión O sobre una línea dada y P es un punto cualquiera en la línea, los triángulos OPA y OA´P´ son inversamente semejantes; A´ y P´ son los inversos de A y P respectivamente. De esta manera el vértice P´ del ángulo recto OP´A´ está en la circunferencia de diámetro OA´.


Inversamente si P´es un punto de esta circunferencia, se infiere , recorriendo al revés los pasos anteriores, que P está en la perpendicular a la línea del diámetro OA´que pasa por el inverso de A´.
Tenemos el siguiente

Corolario: Líneas rectas paralelas, ninguna de las cuales pasan por el centro de una circunferencia de inversión, se invierten en circunferencias tangentes una a otra en el centro de inversión.
18.5 El inverso de una circunferencia. Hemos determinado los inversos de todas las circunferencias por el centro de inversión, de todas las circunferencias puntuales , y de todas las circunferencias de radio finito. La determinación de los inversos de las circunferencias restantes en el plano es el siguiente
Teorema: El inverso de una circunferencia de radio finito que no pasa por el centro de inversión, es una circunferencia de radio finito que no pasa por este punto.

Sea P un punto cualquiera de la circunferencia A, cuya inversa con respecto a O es buscada, y sea Q la segunda intersección de OP con esta circunferencia. Por P´ el inverso de P dibujamos una paralela de QA, que interseca a OA en B**.
*Por radio finito, entendemos un radio cuya longitud es un número distinto de cero. Una línea recta puede ser considerada como el caso límite de una circunferencia cuyo radio se incrementa indefinidamente. Desde este punto de vista, se habla algunas veces de una línea recta, como una circunferencia de radio infinito.
** Para que B sea el único punto determinado en la forma aquí descrita, es necesario que P no esté en la línea OA. Pero una vez determinado B, el argumento es válido, aunque P sea uno de los puntos en que OA interseca a la circunferencia.
Ahora puesto que OP× OP´= r² y OP× OQ = κ, una constante, la razón OP´/ OQ tiene un valor constante . Y puesto que

Se sigue que B es un punto fijo y que BP´es finito y constante ; es decir el lugar geométrico de P´es una circunferencia de radio finito. También, puesto que ningún punto de la circunferencia dada está al infinito, el lugar geométrico de P´ no pasa por O.
Es evidente que el centro de inversión con respecto al cual las circunferencias A y B son curvas inversas, es un centro de homotecia de las dos circunferencias.

18.6 Ángulos conservados por la inversión.
Teorema: Si dos curvas se intersecan en un punto cualquiera distinto del centro de inversión, su ángulo de intersección en ese punto es igual en magnitud pero opuesto en signo al ángulo de intersección de las curvas inversas en el punto inverso.
Sean las curvas que se intersecan en P, un punto distinto de O el centro de inversión. Tracemos OP y una segunda línea por O que corte las líneas dadas en Q y R. Si P´, Q´, R´ son los inversos de P,Q,R, entonces las inversas de las curvas PQ y PR son curvas que pasan por P´, Q´ y P´ , R´, respectivamente (Fig. 62).
Puesto que OP × OP´= OQ × OQ´, PQ es antiparalela a P´Q con respecto a OP y OQ , y de aquí

Ð QPO = Ð OQ´P´.
Similarmente
Ð RPO = Ð OR´P´ ;
y por substracción
Ð QPR - Ð Q´P´R´.
Ahora si la línea OQ gira alrededor de O de tal forma que siempre corte la cuatro curvas, y tienda a OP como límite, los ángulos QPR y Q´P´R´ tienden en el límite a ser los ángulos de intersección de las curvas. Así los ángulos de intersección son iguales en magnitud , pero opuestos en signo.
La propiedad de las curvas respecto de la inversión, incluida en el teorema anterior, se expresa algunas veces diciendo que las curvas inversas son isogonales, y también diciendo que los ángulos son conservados por la inversión.

Como corolario se infiere, que si dos curvas son tangentes una a la otra en P, sus inversas son tangentes a la otra en P´.

18.7 Celda de Peaucellier. Un sistema mecánico articulado conocido como celda de Peaucellier, puede ser usado para construir el inverso de una curva dada.
Unamos los puntos A y B del rombo PAP´B al punto fijo O por medio de líneas iguales OA y OB ( OA > PA). Entonces, si todas las partes pueden moverse libremente, con excepción del punto O, los puntos P y P´ describirán curvas inversas con respecto a O como centro y r como radio de inversión, donde r ² = (OA)²- (PA)². Si llamamos C el punto de intersección de PP´ y AB y si observamos que O, P y P´ son colineales, tenemos

Y de aquí, P y P´ en todas sus posiciones son puntos inversos. Así, por ejemplo, si P describe un arco de circunferencia que pase por O, P´ describirá un segmento de línea recta.
Si los lados del rombo y las líneas OA y OB son substituidas por barras rígidas articuladas en sus puntos de intersección, y si una barra adicional DP = DO une el punto fijo D y el punto móvil P, entonces, cuando DP gira alrededor de D, P´ describirá un segmento de línea recta.
La celda de Peaucellier es de interés porque es uno de los primeros métodos inventados para trazar una línea recta sin uso de regla.
18.7Teorema de Feuerbach.
Como un ejemplo de la potencia y belleza del método de inversión, lo usaremos para probar la propiedad de la circunferencia de los nueve puntos enunciada sin prueba al final de la sección. 16.6

Teorema: La circunferencia de los nueve puntos de un triángulo es tangente a la circunferencia inscrita y a cada una de las circunferencias excritas del triángulo.

Probaremos que la circunferencia inscrita I ( Fig. 64) y una de las circunferencias excritas I´ del triángulo AB son tangentes a la circunferencia de los nueve puntos. Dibujemos la tangente interior común B´C´ y sea A´ su intersección con BC. Entonces A y A´ son los centros de similitud de las dos circunferencias, y son conjugado armónicos con respecto a I e I´. Y puesto que I´X´, IX y AD son perpendiculares cada una a BC, se sigue que X´, X, A´, D son puntos armónicos. Ahora bien , L , el punto medio de BC, es también el punto medio de X´X. Por lo tanto, con respecto a L como centro y LX como radio de inversión, A´ y D son puntos inversos.
Enseguida demostraremos que, con respecto a esta misma circunferencia, S y M son también puntos inversos, donde S es la intersección de B´C´ y LM. Ahora
Entonces el radio de inversión es (c-b ) /2. También LM = c/2. Para calcular LS, observamos que es la diferencia entre LM y SM, y que SM puede ser obtenido de la consideración de los triángulos semejantes B´SM y B´C´A. Esto es
De aquí el producto LS × LM = (c-b)² /4 , y los puntos S y M son inversos con respecto a la circunferencia de diámetro X´X.
El inverso de la línea B´C´ es una circunferencia por L, el centro de inversión, y los puntos D y M. Pero esta es la circunferencia de los nueve puntos. Puesto que las circunferencias I e I´ son ortogonales cada una a la circunferencia de inversión, son sus propias inversas.
Del hecho de que si dos curvas son tangentes una a la otra, sus inversas son también tangentes una a la otra, se sigue que la circunferencia de los nueve puntos es tangente a las circunferencias I e I´. De la misma manera se puede demostrar que es tangente a cada una de las circunferencias excritas del triángulo.

18.9 Inversión de un teorema. Por medio de la inversión podemos deducir y probar nuevos teoremas, de teoremas ya conocidos. Este proceso se llama inversión de un teorema. Será ilustrado en el siguiente ejemplo.
Dos circunferencias S y S´ se intersecan en los puntos distintos A y O. Los diámetros EO y FO de S´ y S intersecan S y S´ en B y C respectivamente. Entonces el eje radical AO pasa por el centro de la circunferencia S´´ determinada por O, B y C.
Inviértase la figura con O como centro de inversión , y sean A´, B´C´ los inversos de A, B, C respectivamente. Por conveniencia se da una segunda figura con los resultados de esta inversión. Cada una de las líneas AO, FO y EO se invierte en sí misma mientras que las circunferencias S, S´ y S´´ se invierten en A´B´ , A´C´ y B´C´ respectivamente.

Más aún puesto que un diámetro interseca su circunferencia ortogonalmente, B´O y C´O, son por la propiedad isogonal de la inversión, alturas del triángulo A´B´C´; de aquí AÓ es perpendicular a B´C´. Por lo tanto, AO es ortogonal a la circunferencia de S´´, de lo que se sigue que pasa por el centro de S´´.
De un teorema familiar referente a las alturas de un triángulo, obtuvimos por inversión el teorema anterior referente a las circunferencias. Este método es muy fructífero y frecuentemente proporciona prueba de teoremas cuya prueba por otro método es más difícil.


18.10 Circunferencia de antisimilitud. Una circunferencia de antisimilitud de dos circunferencias es una circunferencia respecto a la cual las dos son mutuamente inversas.
Hemos visto, que si dos circunferencias son mutuamente inversas, el centro de inversión es el centro de similitud de las circunferencias. También, cualquier par de puntos inversos son también antihomólogos con respecto a este centro de similitud. Entonces vemos que dos circunferencias pueden tener, cuando más, dos circunferencias de antisimilitud.
Si dos circunferencias no se intersecan ( Figs. 66 a ,b ), los segmentos que unen O, un entro de similitud, a un par de puntos antihomólogos P y P´ tienen el mismo signo para uno solo de los dos centros de similitud. Si las circunferencias son mutuamente excluyentes, el centro es externo, mientras que si una esta contenida dentro de la otra, el centro es interno, de donde los dos segmentos tienen el mismo signo.

De aquí, en este caso hay una sola circunferencia de antismilitud, y su radio r, esta dado por r ² - OP × OP´. Obviamente hay solamente una circunferencia así cuando las dos circunferencias son tangentes la una a la otra . Cuando las dos circunferencias se intersecan ( Fig. 66 c) , cada uno de los centros de similitud llena los requisitos de antisimilitud. Cada una de éstas pasa por los puntos comunes a las circunferencias dadas.
Estos resultados pueden resumirse en el
Teorema: Dos circunferencias que se intersecan tienen dos circunferencias de antisimilitud cuyos centros son los centros de similitud de las circunferencias dadas y cada una de las cuales pasa por los puntos comunes de las circunferencias dadas. Dos circunferencias tangentes una a otra o que no se intersecan tienen una circunferencia de antisimilitud cuyo centro es su centro interno o externo de similitud e acuerdo si las circunferencias son mutuamente excluyentes o si una está contenida dentro de la otra.
18.11 Inversión de circunferencias en circunferencias iguales.
Teorema: Dos circunferencias pueden siempre ser invertidas en dos circunferencias iguales.
Lema: Si una circunferencia y dos puntos inversos respecto a ella se invierten con cualquier punto de la circunferencia como centro de inversión, se transforman en una línea recta y dos puntos simétricos respecto a la línea.
Sean P y P´ puntos inversos respecto a la circunferencia C e invirtamos con un punto arbitrario O de la circunferencia C, como centro de inversión . Entonces la circunferencia C s transforma en una línea recta, la línea PP´ en una circunferencia ortogonal a esta línea y la circunferencia con PP como diámetro en una segunda circunferencia ortogonal a la misma línea. Entonces los transformados de P y P son los puntos de intersección de dos circunferencias cuyos centros están en la línea que es la transformada de C, y son simétricos respecto a la misma línea.
Para demostrar el teorema, inviértanse las dos circunferencias dadas, con cualquier punto de la circunferencia de antisimilitud como centro de inversión . Esta circunferencia es transformada en una línea recta respecto a la cual los transformados de todos los pares de puntos correspondientes de las circunferencias dadas son simétricos. Se sigue que las circunferencias dadas están invertidas en circunferencias iguales.
Estamos ahora en posición de responder la pregunta, cuándo es posible , por inversión , transformar tres circunferencias dadas en tres circunferencias iguales. Si las circunferencias de antismilitud de dos pares de circunferencias dadas se intersecan, tal transformación puede ser realizada. Una discusión más completa demuestra que hay cuando más ocho de tales puntos de intersección, pero en algunos casos no hay ninguno. Cuando cada una de estas circunferencias interseca a las otras dos, la transformación es posible.
18.12 Inversión de circunferencias en sí mismas.
Teorema: Cualquier par de circunferencias no concéntricas pueden ser invertidas en sí mismas en una infinitud de formas.
Si tomamos como circunferencia de inversión cualquier circunferencia ortogonal a cada una de las circunferencias dadas, estas circunferencias son invertidas en sí mismas. Siempre existe un número infinito de circunferencias ortogonales a cada una de las circunferencias no concéntricas (Sección 17.5) , y por lo tanto la inversión es posible en un número infinito de formas.
Tres circunferencias pueden ser invertidas en sí mismas, si existe una circunferencia ortogonal a las tres. Este es el caso cuando el centro radical es un punto finito que está fuera de las circunferencias dadas.
18.13 Circunferencias que intersecan una circunferencia dada en un ángulo dado.
Problema: Construir una circunferencia que pase por dos puntos dados y que corte una circunferencia dada en un ángulo dado.

Sean C la circunferencia y A y B los puntos dados. Si invertimos con respecto a la circunferencia de centro A y que es ortogonal a C, la última se invierte en sí misma y la circunferencia requerida se invierte en una línea recta que pasa por B´, el inverso de B. También esta línea intersecará la circunferencia C en el ángulo dado. Ahora , todas las líneas que cortan la circunferencia C bajo este ángulo son tangentes a la circunferencia C´ que es concéntrica con C y que se construye fácilmente . De aquí queda solamente por dibujar por B´ una tangente a la circunferencia C´ e invertir esta tagente en la circunferencia requerida. Hay dos soluciones, una , o ninguna, según B´ esté fuera, sobre , o dentro de la circunferencia C´.

17 Circunferencias Coaxiales

17.1 Potencia de un punto. Si P es un punto cualquiera en el plano de una circunferencia dada, y una línea por P interseca la circunferencia en A y B, el producto de los segmentos PA y PB es constante. Esta propiedad característica de una circunferencia nos lleva a la formulación de la
Definición : La potencia de un punto con respecto a una circunferencia, es el producto de sus distancias a cualquier par de puntos en la circunferencia que sean colineales con él.
Se sigue que la potencia de un punto es negativa , cero o positiva de acuerdo si el punto esta dentro, en o fuera de la circunferencia. Es también fácil verificar que, para cualquier posición de P, su potencia con respecto a una circunferencia cuyo centro es O y cuyo radio es r, es PO2 -r2 .
Si P está fuera de la circunferencia su potencia es igual al cuadrado de la longitud de una tangente de él a la circunferencia.
Un punto puede ser visto como una circunferencia de radio cero. Tal circunferencia es llamada circunferencia nula o circunferencia puntual. La definición anterior , propiamente interpretada, es aplicable a tal circunferencia. Entonces la potencia del punto P con respecto a una circunferencia nula O es PO2.
17.2 Eje radical. El eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de un punto cuyas potencias con respecto a las dos circunferencias es igual.
Para demostrar que el lugar geométrico definido anteriormente es una línea recta, vamos a considerar primero dos circunferencias no concéntricas cuyos centros son O y O´ y cuyos radios son r y r´. Por P, un punto que tiene la misma potencia con respecto a estas circunferencia , dibujamos PM perpendicular a la línea de los centros OO´. Entonces
Ahora solo hay un punto M en OO´ que satisface estas relaciones. Si N es un punto cualquiera semejante, tenemos

OM –MO´= ON –NO´;
Esto es
ON-MN –MO´= ON + MN –MO´ ,
Y entonces MN = 0; es decir , N coincide con M.
Por lo tanto, si un punto tiene potencias iguales con respecto a las dos circunferencias O y O´, está en una perpendicular a la línea de sus centros. Inversamente, se puede demostrar invirtiendo los primeros pasos de la discusión anterior, que , si P está en a perpendicular a OO´, en M, sus potencias con respecto a estas circunferencias son iguales.
Si los centros de dos circunferencias de radios desiguales se aproximan, el punto M se aproxima al punto al infinito en OO´ y la línea MP tiende a la línea al infinito. Así que el eje radical de dos circunferencias concéntricas desiguales se define como la línea al infinito. El eje radical de dos circunferencias iguales concéntricas, se dejara indefinido, y cualquier anunciado acerca del eje radical no es aplicable a tales circunferencias. Si dos circunferencias se intersecan, su eje radical pasará por sus puntos comunes. Si dos circunferencias s intersecan, su eje radical pasará por sus puntos comunes. Si son tangentes una a la otra, es su tangente común en el punto de contacto.
17.3 Centro radical.
Teorema: Los ejes radicales de tres circunferencias tomadas por pares son concurrentes. Consideremos primero, tres circunferencias, cuyos centros no son colineales y sea P la intersección del eje radical de la primera y segunda con el de la segunda y tercera. Entonces P tendrá potencias iguales con respecto a las tres circunferencias, y entonces el eje radical de la primera y tercera también pasará por P.
Si los centros de las tres circunferencias son colineales, los ejes radicales son paralelos y distintos , o dos de ellos coinciden y la línea común es paralela al tercero, o los tres coinciden. En cada uno de estos casos especiales, las líneas son concurrentes en un punto al infinito.
El punto de concurrencia de tres de los ejes radicales de tres circunferencias tomadas por pares, es llamado su centro radical.
17.4 Construcción del eje radical El eje radical de dos circunferencias no concéntricas puede ser construido como sigue:
Dibujemos una circunferencia cualquiera que corte las circunferencias dadas en A, A´ y B, B´ respectivamente. Por P, la intersección de AA´ y BB´, dibujamos la perpendicular a la línea de los centros de las circunferencias dadas. Esta perpendicular es el eje radical requerido como se puede comprobar fácilmente.
17.5 Circunferencias ortogonales a dos circunferencias.
Teorema: El centro de una circunferencia que corta a dos circunferencias ortogonalmente, está en el eje radical de estas últimas; y si una circunferencia cuyo centro está en el eje radical de dos circunferencias, es ortogonal a una de ellas, es también ortogonal a la otra.
Si P es el centro de una circunferencia que es ortogonal a las circunferencias O y O´, tenemos de los triángulos rectángulos PAO y O´A´P.
De esta manera P tiene potencias iguales con respecto a las circunferencias O y O´ y está en su eje radical.
En seguida, dejemos a P en el eje radical de las circunferencias O y O´ y hagamos que la circunferencia P corte ortogonalmente la circunferencia O. De la igualdad de las potencias de P y del hecho de que el ángulo OAP es recto, se sigue que el ángulo PAÓ´ también es recto y la circunferencia P es ortogonal a la circunferencia O´.
De acuerdo con su importancia en lo siguiente, probaremos enseguida estos dos teoremas:
Teorema: Todas las circunferencias que cortan ortogonalmente a dos circunferencias que no se intersecan la línea de sus centros en los mismos dos puntos.
Teorema: Una circunferencia que corta ortogonalmente a dos circunferencias que se intersecan, no interseca la línea de sus centros.
Para probar el primero de estos teoremas, nos referiremos a la Fig.55 y observando que, puesto que las circunferencias O y O´ no se intersecan , OM es mayor que el radio OA, entonces PM es menor que PA y, por lo tanto, la circunferencia P interseca OO´ en L y L´.
Entonces

Y
Esta ecuación nos muestra que la posición de L es independiente de la de P. Por lo tanto cualquier circunferencia ortogonal a O y O´ pasa por L. Asimismo cualquiera de estas circunferencias pasa por L y LL´ es bisecada por M.
Si las circunferencias O y O´ se intersecan , el punto M está dentro de ambas, OM es menor que el radio OA, PM es mayor que PA, y la circunferencia P no interseca OO´.
17.6 Ejes radicales del incírculo y excírculos.
Teorema: El eje radical de la circunferencia inscrita y de las circunferencias excritas de un triángulo tomadas por pares, son las bisectrices de los ángulo del triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados del triángulo dado.
Daremos las prueba para la circunferencia inscrita y para una de las excritas . Refiriéndonos a la Fig. 33, en la cual, L, M, N, son los puntos medianos de los lados, observamos que e eje radical de las circunferencias I e I 1 pasa por L , puesto que este punto tiene la misma potencia con respecto a cada una de estas circunferencias. También es perpendicular a II1, la bisectriz del ángulo interior A. Ahora la bisectriz del ángulo interior A, es paralela a la bisectriz del ángulo exterior en L, del triángulo LMN. Puede ser demostrado fácilmente que la bisectriz del ángulo interior en L es l eje radical de as otras dos circunferencias excritas.
De esta manera vemos que el centro radical de tres circunferencias excritas es el incentro del triángulo LMN, mientras que el de dos de sus excírculos y el incírculo es uno de sus excentros. Puesto que estas circunferencias no se intersecan, todos los centros radicales están fuera de las circunferencias. Los cuatro centros radicales forman un grupo ortocéntrico de puntos. 17.7 Circunferencias coaxiales. Si un conjunto de circunferencias es tal que la misma línea es eje radical de todo par, se dice que las circunferencias son coaxiales. El eje radical de los pares de circunferencias se llama eje radical del conjunto coaxial.
Obviamente, los centros de las circunferencias de un conjunto coaxial son colineales. También si dos de ellas se intersecan, cualquier circunferencia del conjunto pasa a través de los mismos dos puntos. De otro modo no habría dos circunferencias del conjunto que se intersecaran. Es además inmediato que el eje radical de un conjunto de circunferencias coaxiales es el lugar geométrico de los puntos cuyas potencias con respecto a todas las circunferencias del conjunto son iguales.
Dos circunferencias distintas pueden pertenecer solamente a un conjunto coaxial; y dos circunferencias distintas determinan siempre, de modo único a un conjunto de circunferencias que son coaxiales con ellas. Además , si dos puntos diferentes tienen iguales potencias con respecto a tres o más circunferencias, las circunferencias son coaxiales.
Por la sección 17.5 se sigue que, si una circunferencia corta a dos circunferencias de un conjunto coaxial ortogonalmente, cortará a todas las circunferencias del conjunto tamién ortogonalmente.

17.8 Circunferencias coaxiales que se intesecan. Si una circunferencia de un conjunto coaxial corta al eje radical en dos puntos, entonces toda circunferencias del conjunto pasa a través de los mismos dos puntos y la línea de los centros es mediatriz de la cuerda común. De acuerdo con que r sea menor que, igual a , o mayor que la mitad de la longitud de la cuerda común , existe : ninguna circunferencia, una circunferencia o dos circunferencias del conjunto que tengan a r como su radio,
De la discusión de la sección 7.5 obtenemos de inmediato:
Teorema: Todas las circunferencias que son ortogonales a dos circunferencias que no se corten, pertenecen a un conjunto coaxial de circunferencias que se intersecan cuya línea de los centros es el eje radical de las dos circunferencias.
17.9 Circunferencias coaxiales que no se intersecan. El eje radical de un conjunto de circunferencias coaxiales puede no intersecar a estas circunferencias, en cuyo aso ninguna de las circunferencias cortará a otra. Sean dos circunferencias cuyos centros son O y O´ (Fig. 56) dos circunferencias de tal conjunto, y sea M el punto en el que el eje radical corta a la línea de los centros. Trácense las tangentes MP y MP´a las dos circunferencias, y , trácese una circunferencia que corta a la línea de los centros en L y L´. Esta circunferencia es ortogonal a cada una de las circunferencias dadas en consecuencia también ortogonal a cada una de las circunferencias coaxiales del conjunto que determinan las dos primeras.
Como la tangente en P a la circunferencia M pasa a través de O, vemos que las otras circunferencias del conjunto pueden construirse del modo siguiente:
En cualquier punto S de la circunferencia M trácese su tangente y sea O´´ la intersección de esta tangente con la línea de los centros. La circunferencia con centro en O´´ y O´´S como radio es una circunferencia del conjunto. Además, para cada r mayor o igual a 0 hay dos circunferencias del conjunto que tienen a r como radio. A L y L´ las circunferencias puntuales del conjunto se les denomina puntos limites, Ninguna de las circunferencias coaxiales tiene como centro a un punto interior del segmento LL´.
17.10 Relación con las circunferencias de Apolonio.
Teorema : Cada una de las circunferencias de un conjunto coaxial de circunferencias ajenas , es decir, que no se intersecan es una circunferencia de Apolonio con respecto a los puntos límites del conjunto.
Para probar esto, sean ( Fig. 56) B y B´ los puntos en que la circunferencia O, una circunferencia arbitraria del conjunto ,corta a la línea de los centros. Como las circunferencias cuyos diámetros son LL´ y BB´ son ortogonales , los puntos L y L están separados armónicamente por B y B´ . En consecuencia, la circunferencia de Apolonio que es el lugar geométrico de los puntos cuya razón de distancias a L y L´ tiene el valor LB : L´B , pasa por B y B´ como extremidades de un diámetro, puesto Que sólo hay una circunferencia con BB´ como diámetro , la circunferencia O es la circunferencia de Apolonio con respecto a L y L´.
17.11 Sistemas de circunferencias ortogonales. Se concluye a partir del teorema de la sección 6.8 que toda circunferencia que interseca a cada una de las circunferencias de un conjunto coaxial cuyos elementos son nuevamente ajenos, y que lo hace ortogonalmente, pertenece a un conjunto coaxial de circunferencias que se intersecan cuya línea de los centros es el eje radical del primer conjunto. Además , las circunferencias que son ortogonales a cada una de las circunferencias de un conjunto coaxial cuyos elementos se cortan, tienen sus centros en el eje radical del primer conjunto. Se mostrará enseguida que estas circunferencias ortogonales formaran un conjunto coaxial.
Consideremos cualquier circunferencia del gruó que se interseca. Las tangentes desde su centro a las circunferencias que la intersecan ortogonalmente son sus radios y por lo tanto son iguales. De esta manera su centro tiene iguales potencias con respecto a las circunferencias ortogonales a ella, de lo que se sigue que las últimas son coaxiales, con la línea de los centros del otro conjunto como eje radical. Ninguna de estas circunferencias interseca su eje radical, y por ningún par de circunferencias del conjunto se cortan entre sí.
Estos resultados pueden resumirse como sigue:
Sean A y B puntos diferentes en el plano. Entones existen dos conjuntos de circunferencias coaxiales que tienen las siguientes propiedades:
(1) Las circunferencias de un conjunto tienen la línea como eje radical ; cada una de estas circunferencias pasa por A y B y la mediatriz de AB es la línea de sus centros.
(2) Las circunferencias del otro conjunto que es del tipo sin intersecciones, tienen como eje radical la mediatriz de AB; los puntos A y B son los puntos límites ; y la línea AB es la línea de los centros.
(3) Una y sólo una circunferencia de cada conjunto pasa por cada punto finito del plano distinto a A y B.
(4) Cada circunferencia de un conjunto interseca ortogonalmente todas las circunferencias el otro conjunto, Los dos conjuntos forman una red ortogonal de circunferencias en el plano.
17.12 Aplicación al cuadrilátero completo. Como una aplicación de la teoría de circunferencias coaxiales, probaremos el siguiente
Teorema: Las circunferencias cuyos diámetros son las diagonales de un cuadrilátero completo, son coaxiales; los ortocentros de los cuatro triángulos determinados por los cuatro lados del cuadrilátero tomados tres a un tiempo son colineales , y los puntos medios de las diagonales son colineales.
En el cuadrilátero completo de lados p, q, r, s (Fig. 58), sea H, el ortocentro del triángulo ABC y sean A´, B´, C´ los pies de las alturas por A, B , C respectivamente. Puesto que A, C, C´, A´ y B, C, C´ , B´ son conjuntos de puntos concíclicos.
H1A × H1A´ = H1B × = H1B ´ =
H1C × H1C´.

Ahora AA´, BB´, CC´, son cuerdas de las circunferencias que tienen como diámetros a AF, BE y CD respectivamente y por las ecuaciones anteriores H1 tiene la misma potencia con respecto a cada una de estas circunferencias, De la misma manera se puede demostrar que los ortocentros de los triángulos ADE, BDF, CEF, tienen cada uno iguales potencias con respecto a estas tres circunferencias. Se sigue que las tres circunferencias son coaxiales; que los cuatro ortocentros están en el eje radical; y que sus centros, a saber, los puntos medios de las diagonales, están en una línea recta. Más aún, la línea en la cual están los cuatro ortocentros, es perpendicular a la línea que pasa por los puntos medios de las diagonales.

16.19 Los puntos de Brocard.

16.19 Los puntos de Brocard.
Muchas de las investigaciones que fueron hechas durante la última parte del siglo XIX referentes al triángulo giran alrededor de conceptos y relaciones sugeridas por dos puntos, con los cuales vamos a trabajar nosotros mismos ahora. En el triángulo ABC, vamos a considerar la circunferencia que pasa por A y es tangente a BC en B, la que pasa por B y s tangente a CA en C, y la que pasa por C y es tangente a AB en A. Si llamamos a Ω el segundo punto de intersección de las dos primeras circunferencias, tenemos que Ð BAΩ = ÐCB Ω =Ð ACΩ ; y de la igualdad del primero y el último de estos ángulos se sigue que la tercera circunferencia pasa también a través de Ω .
De manera semejante, considerando las tres circunferencias correspondientes , la primera de las cuales pasa a través de A y es tangente a BC en C, etc., encontramos un segundo Ω ´ tal que
Ð Ω´AC =Ð Ω´CB = Ð Ω´BA.
Hemos encontrado en esta forma dos puntos Ω y Ω´,c ada uno de los cuales tiene la propiedad de que, si se trazan líneas de los vértices del triángulo a ellos, los ángulos que estas líneas forman con los lados del triángulo son iguales. Se puede demostrar que solamente existen dos de estos puntos.
De estos dos puntos, Ω es llamado el punto positivo de Brocard y Ω´ es llamado el punto negativo de Brodcard del triángulo dado . Las líneas que unen los puntos de Brodcard a los vértices serán llamados rayos de Brodcard del triángulo, los que pasan por Ω son los primeros rayos de Brodcard y los que pasan por Ω´ los segundos rayos de Brodcard.
16.20 El ángulo de Brodcard. Unamos Ω a los vértices del triángulo y hagamos que BΩ corte a la exmediana por A en D. Entonces los puntos A, Ω,C, D son concíclicos. Ya que sí denotamos ÐCBΩ por ω, tendremos también ÐACΩ = ÐADΩ = ω . Más aún ,
Ð CΩA= ÐB +
ÐC , entonces ÐADC = ÐA y, por lo tanto, ÐDCA= Ð B . Entonces CD es la exsimediana por C, y tenemos el importante resultado:
La exmediana por A, el primer rayo de Brocard por B y la exsimediana por C son concurrentes.
Si DE y AF son dibujadas perpendiculares a BC (Fig. 47) el ángulo ECD = ángulo A. También

Denotando por ω´ el ángulo Ω´AC y observando la simetría de la última ecuación encontramos que cotω = cotω´ y de aquí que ω= ω´. Por lo tanto, los puntos de Brocard de un triángulo son puntos conjugados isogonales. El ángulo ω es llamado el ángulo de Brocard del triángulo.
5.21 Relaciones con medianas y simedianas. Aplicando el inverso del teorema de Ceva a las líneas concurrentes AD, BD y CD (fig.47), encontramos que
donde Ω _b es la intersección de BΩ con CA. También la simediana por C divide a AB en la razón b² / a² ; entonces la mediana por A, el primer rayo de Brocard por B, y la simediana por C son concurrentes.
16.22 Valor límite del ángulo de Brocard. Se demostrará que el ángulo de Brocard cuyo valor es cot ^-1 (Cot A+ Cot B + Cot C) es cuando más igual a 30° . Del hecho de que la suma de CΩb y Ω _bA es b y su razón , encontramos
Ahora, del triángulo BCΩ _b
Y por lo tanto el sen ω no puede ser mayor que ½. Entonces ω no excede de 30°.
Obviamente sen ω = ½ y ω = 30° cuando el triángulo es equilátero.
16.23 La circunferencia de Brocard y los triángulos de Brocard. La circunferencia cuyo diámetro es el segmento de línea que une el circuncentro de un triángulo y su punto simediano es la circunferencia de Brocard del triángulo.
Cada una de las perpendiculares OL, OM y ON del circuncentro a los lados del triángulo intersecan la circunferencia de Brocard en O. Sean los segundos puntos de intersección de estas líneas con las circunferencias, A´, B´, C´.
El triángulo A´B´C´ es conocido como el primer triángulo de Brocard.
También las simedianas AK, BK y CK intersecan la circunferencia de Brocard en K. Si A´´B´´C´´ son los segundos puntos de intersección de las simedianas con esta circunferencia, el triángulo A´´B´´C´´ es llamado el segundo triángulo de Brocard.
16.24 Los triángulos de Brocard están en la circunferencia de Brocard. Puesto que (fig. 48) el ángulo KAÓ es un ángulo recto KA´ es paralela a BC y las distancias de K y A´ a BC son iguales. Resultados similares se obtienen con respecto a los otros lados del triángulo, entonces
y por lo tanto los triángulos rectángulos BLA´, CMB´ y ANC´ son semejantes, de lo que se sigue que BA´, CB´ y AC´ se intersecan en Ω.
Para demostrar que Ω está en la circunferencia de Brocard observamos que Ð ΩAO´ = ÐΩCÓ, entonces los cuatro puntos Ω, O , A´, C, son concíclicos. Pero la circunferencia por los últimos tres de estos puntos es la circunferencia de Brocard. . Análogamente se puede probar que Ω´ también está en la misma circunferencia. Es el punto de intersección de CA´, AB´y BC´.
El Triángulo ΩOΩ´ es isósceles y su base ΩΩ´ es perpendicular al diámetro OK. Esto se sigue del hecho de que los ángulos iguales ΩC´O y OC´Ω´ subtienden en la circunferencia de Brodcard losa arcos iguales Ωº y OΩ´.


16.25 El primer triángulo de Brodcard. En la fig. 48 los ángulos A´ΩC´ y B´ΩA´ son iguales respectivamente a los ángulos B y C del triángulo dado. Pero ellos también son iguales a los ángulos B´ y C´ del triángulo A´B´C´. Entonces el primer triángulo de Brocard es semejante al triángulo dado.
El primer triángulo de Brocard está en perspectiva con el triángulo ABC, las líneas AA´, BB´, y CC´ resultan concurrentes. Esto puede ser probado aplicando el teorema de Ceva a estas líneas considerándolas como transversales que pasan por los vértices del triángulo ABC. Puesto que cada ángulo de la base de los triángulos isósceles semejantes A´BC, B´CA, CÁB es el ángulo de Brocard ω, tenemos

La multiplicación de estas dos ecuaciones da el resultado deseado. Se sigue por el teorema de Desargues , que los puntos de intersección de los lados correspondientes de estos dos triángulos, son colineales.

Si trazamos líneas por los vértices del triángulo dado, paralelas a los lados correspondientes del primer triángulo de Brocard, ellas se intersecarán en un punto de la circunferencia circunscrita, conocido como punto de Steiner. El punto de la circunferencia circunscrita diametralmente opuesto al punto de Steiner es llamado punto de Tarry. Es el punto de concurrencia de líneas por los vértices del triángulo, que son perpendiculares a los lados del primer triángulo de Brocard.
La concurrencia de las líneas antes mencionadas en el punto de Steiner es probada fácilmente. Sean AS y BS paralelas respectivamente a B´C´ y C´A´ (Fig. 49 ). Entonces Ð ASB = Ð B´C´A´= Ð ACB, y de aquí S esta en la circunferencia circunscrita. Obviamente las paralelas por C a A´B´ también pasan por S.
El que las perpendiculares a los lados del primer triángulo de Brocard que pasan por los vértices del triángulo dado pasan por el punto de Tarry, puede ser probado de una manera semejante.

16.26 Segundo triángulo de Brocard. Prolonguemos las simedianas del triángulo ABC hasta cortar la circunferencias circunscrita en P, Q y R (Fig. 50). El vértice A´´ del segundo triángulo de Brocard , que está en AK es el pie de la perpendicular de O a AK, puesto que el ángulo OA´´K está inscrito en una semicircunferencia. Por lo tanto A´´ es el punto medio de AP. Es decir , los vértices del segundo triángulo de Brocard bisecan las cuerdas de la circunferencia circunscrita al triángulo dado sobre la cual están sus simedianas.
Las siguientes relaciones se verifican fácilmente:
(a) Los cinco puntos B, T, C, O, A´´ son concíclicos, donde T es el punto de intersección de las tangentes a la circunferencia circunscrita en B y C. El centro de la circunferencia en la cual están es el punto medio de OT.
(b) Ð AA´´B = Ð CA´´A = 180° - Ð BAC.
(c) La circunferencia por A, B, A´´ es tangente a CA y la que pasa por C , A, A´´ es tangente a AB. Entonces de las seis circunferencias usadas en la sección 5. 19 para localizar los puntos de Brocard, las dos que son tangentes a dos lados del triángulo dado en un vértice común se intersecan nuevamente en el vértice correspondiente del segundo triángulo de Brocard.
16. 27 La primera circunferencia de Lemoine. Si se trazan paralelas a los lados de un triángulo por su punto simediano, los seis puntos en que cortan los lados del triángulo están en una circunferencia que es llamada la primera circunferencia de Lemoine del triángulo.

Sean las paralelas por el punto K trazadas y señaladas como se muestra en la Fig. 51. Entonces AQ₂KP₃ es un paralelogramo, Q2P3 es antiparalela a BC y asimismo a P1Q1 (Sección 5.15). Por lo tanto P1, Q1, P3, Q3, son concíclicos. Los ángulos P3Q2A son iguales al ángulo ACB; y de aquí se sigue que el trapezoide Q2P1Q3P3 es un trapecio. Por lo tanto, sus vértices son concíclicos. Entonces los seis puntos P1, Q1, P2, Q2,P3,Q3 están en una circunferencia.
La primera circunferencia de Lemoine y la circunferencia de Brocard son concéntricas : Puesto que Q2P3 es antiparalela a BC y, por tanto, es perpendicular a AO. Entonces la mediatriz de Q2P3 es paralela a AO y biseca a KO en N. Análogamente el punto N, que es el centro de la circunferencia de Brocard, está en la mediatriz de Q3P1. Entones N es también el centro de la primera circunferencia de Lemoine.
Por triángulos semejantes y por el hecho de que la simediana de un triángulo divide el lado al que es dibujada en la razón de los cuadrados de los lados adyacentes, obtenemos

Por lo tanto las cuerdas que la primera circunferencia de Lemoine determina en los lados del triángulo son proporcionales a los cubos de esos lados.
16. 28 La segunda circunferencia de Lemoine.
Una situación parecida a la descrita en la sección anterior existe, si, en lugar de las paralelas trazamos las antiparalelas a los lados por el punto simediano. Los seis puntos en los cuales estas antíparalelas cortan los lados, también están en una circunferencia que es llamada la segunda circunferencia de Lemoine del triángulo. Obviamente K es el punto medio de cada uno de los segmentos P1Q1, P2Q2, P3Q3 . También por el antiparalelismo, cada uno de los triángulos KQ1P3, KQ2P1 y KQ3P2 es isósceles. Entonces los seis puntos están en una circunferencia cuyo centro es K.
Después del hecho de que esta circunferencia corta los lados del triángulo en las extremidades de tres de sus diámetros, su propiedad más interesante, es de que las cuerdas que determina en los lados del triángulo son proporcionales a los cosenos de los ángulos opuestos. Debido a esta propiedad es llamada también la circunferencia de los cosenos del triángulo.
La primera circunferencia de Lemoine es llamad a menudo la circunferencia de Lemoine.

16.13 Líneas isotómicas y puntos conjugados isotómicos

16.13 Líneas isotómicas y puntos conjugados isotómicos Sean P y P´ dos puntos en el lado BC del triángulo ABC tales que BP´ = PC. Entonces las líneas AP y AP son llamadas líneas isotómicas del triángulo.
Sean dibujadas por cada uno de los vértices de este triángulo , un par de líneas isotómicas, y sean tres de ellas, una de cada par, concurrente en el punto T. Se sigue inmediatamente por el teorema de Ceva, que las otras tres también son concurrentes. Si su punto de intersección es T´, entonces los puntos T y T´ son los puntos conjugados isotómicos del triángulo.
16.14 Simedianas y puntos simediano. Las líneas conjugadas isogonales de las medianas de un triángulo son sus simedianas. Puesto que las medianas son concurrentes, las simedianas también son concurrentes y su punto de intersección es el llamado punto simediano del triángulo. El punto mediano y el punto simediano son puntos isogonales conjugados del triángulo.
16. 15 Propiedades de las simedianas. Entre las propiedades de las simedianas de un triángulo , se dan algunas de las más importantes en los teoremas que siguen inmediatamente.
Teorema: El lugar geométrico de los puntos medios de las antiparalelas a BC con respecto a los lados AB y AC del triángulo ABC, es la simediana por A.
Sean AL y AL´ la mediana y la simediana por A, y sea PQ antiparalela ABC. Con los ángulos en A como se indica en la figura, tenemos, ya que BL = LC,

Y por las igualdades de los ángulos en A debidas a la isogonalidad

Combinando estos resultados se obtiene que PM= MQ.
Inversamente, sea M el punto medio de la antiparalela PQ. Entonces

Ahora x +y = α + β < x =" α,">Teorema: Las distancias de cualquier punto en una simediana a los lados de un triángulo concurrentes con esta simediana, son proporcionales a las longitudes de estos lados.
Sea P (fig. 43) un punto en la simediana por A, y sean d 1y d2 sus distancias a los lados como se muestra. Entonces Teorema. Los segmentos en los cuales divide una simediana el lado de un triángulo al cual es trazada, son proporcionales a los cuadrados de los lados adyacentes.
En la Fig. 43
Y puesto que
16.16 el punto simediano.Muchos de los avances en la geometría moderna del triángulo están íntimamente relacionados con su punto simediano. En seguida agrupamos algunas de las propiedades de este punto importante y más adelante en el capítulo indicaremos las direcciones que han tomado algunos de estos avances.
Es obvio que el punto simediano siempre está dentro del triángulo. Como hemos señalado anteriormente , es el conjugado isogonal del punto mediano.
Del segundo teorema e la sección anterior, deducimos el hecho de que las distancias del punto simediano a los tres lados del triángulo, son proporcionales a estos lados . También se puede probar que es el punto dentro de triángulo para el cual la suma de los cuadrados de sus distancias es el mínimo.

Si son bajadas perpendiculares del punto simediano K a los lados del triángulo, los pies son los vértices de un triángulo del cual K es su punto mediano.
Prolongue la mediana AL al doble de su longitud, hasta A´ y trace CA´, y encuentre la intersección, K´ de XK con YZ (fig44). Entonces los triángulos ACA´ y YKZ son semejantes , porque sus ángulos en C y K son iguales, cada uno es el suplemento del ángulo BAC, y los lados que contienen estos ángulos son proporcionales. Más aún puesto que los ángulos ACL y YKK´ son iguales, las líneas CL y KK´, son líneas correspondientes en estos triángulos , de lo que se sigue XK´ es una mediana de XYZ. Similarmente las otras dos medianas pasan por K.

16. 17 Propiedades armónicas. En la Fig. 45, sea AL´´ la tangente en A de la circunferencia circunscrita del triángulo ABC del cual K es el punto simediano. Entonces por la semejanza de los triángulos AL´´B y CL´´A encontramos que
Y puesto que L´ divide el segmento BC internamente en la razón AB² / AC², se infiere que este segmento es dividido armónicamente por L´ y L´´ . Entonces el haz A (BCL´L´´) es un haz armónico. La simediana BM´ es una transversal de este haz y si su intersección con AL´´ es el punto S, entonces S es el conjugado armónico de K con respecto a B y M´.
En una forma similar se puede demostrar que la tangente en C también corta la simediana por B en el punto S. De esta manera la línea que une un vértice de un triángulo con la intersección de las tangentes por los otros dos vértices es la simediana por ese vértice. Esto da una construcción conveniente para las simedianas.
Si se une el punto medio M de CA con B, K y S, obtenemos el haz armónico M ( BM´KS). Ahora la altura BE es paralela al rayo MS del haz , y por lo tanto MK interseca BE en su punto medio S´. En otras palabras, la línea que une el punto medio de un lado de un triángulo con el punto medio de la altura bajada a este lado, pasa por el punto simediano del triángulo. Esto nos lleva a una construcción simple del punto simediano sin construir las simedianas.
16.18 Exsimedianas y exmedianas . La importancia de las tangentes de las circunferencias circunscritas de un triángulo por sus vértices se señala claramente en la discusión anterior. De acuerdo con su relación a las simedianas, estas tangentes son llamadas las exsimedianas del triángulo, y los puntos en los cuales se intersecan dos a dos son llamados sus puntos exsimedianos. De esta manera podemos enunciar uno de los resultados importantes de la sección 16 .17 como sigue:
Dos exsimedianas cualquiera y la tercera simediana de un triángulo son concurrentes en uno de sus puntos exsimedianos,
Igualmente, las líneas paralelas a los lados de un triángulo por los vértices de éste son llamadas las exmedianas del triángulo y los puntos de intersección dos a dos son llamados los puntos exmedianos . Dos exmedianas cualesquiera y la tercera mediana de un triángulo son concurrentes en uno de sus puntos exmedianos. Existen obvias relaciones armónicas con relación a las medianas , exmedianas, punto mediano y puntos exmedianos, análogas a las señaladas en la sección inmediata anterior.